Обзор заданий ЕГЭ по темам 1.8.-1.10

В отсутствии сопротивления воздуха тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения, т.е. движение тела — РАВНОУСКОРЕННОЕ. Это означает, что модуль ускорения мячика не изменяется. Понятно, что при падении вниз, скорость тела, а значит и его кинетическая энергия, увеличиваются. 

Ответ: 31

Для начала найдем время движения тел. При свободном падении без начальной скорости имеем

$s=\frac{gt^2}{2}\Rightarrow 2s=gt^2\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2s}{g}}$,

$t_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}}=2$ с,

$t_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 40}{10}}\approx 2,82$ с.

Понятно, что оба тела, двигаясь из состояния покоя с одинаковым ускорением, будут проходить за одинаковые промежутки времени одинаковые пути, т.е. путь, пройденный шариком за вторую секунду полета, при движении с большей высоты не изменится. Покажем это на конкретных расчетах. Пусть $s_1$ — путь, пройденный телом за время $t_1=1$ с, $s_2$ — путь, пройденный телом за время $t_2=2$ с. Тогда путь пройденный за ВТОРУЮ секунду будет выражаться формулой

$s_{12}=s_2-s_1=\frac{gt_2^2}{2}-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{g}{2}\left( t_2^2-t_1^2 \right)$.

Как мы видим, это расстояние не зависит от первоначальной высоты, значит пути, пройденные шариком за вторую секунду полета в первом и во втором случаях будут одинаковыми.

Последняя секунда движения первого тела — это вторая секунда движения. Найдем путь, пройденный первым телом за последнюю (т.е. вторую) секунду движения, по формуле, полученной выше

$s_{12}=\frac{10}{2} \cdot \left( 2^2-1^2 \right)=15$ м.

Последняя секунда движения первого тела — это путь пройденный телом с момента времени $t_1=1,82$ с до момента времени $t_2=2,82$ с. Находим этот путь

$s=\frac{10}{2} \cdot \left( 2,82^2-1,82^2 \right)=23,2$ м.

Как мы видим путь, пройденный шариком за последнюю секунду полета, увеличился.

Ответ: 31

Запишем формулу, выражающую связь перемещения тела его ускорением, а также начальной и конечной скоростью движения, учитывая что при отсутствии сопротивления воздуха, ускорение будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$

$v_{2x}^2-v_{1x}^2=2g_xs_x$

Учитывая знаки проекций векторов на координатную ось $x$, а также то, что $v_2=2v_1$, получим

$v_{2}^2-v_{1}^2=2gs$,

$(2v_{1})^2-v_{1}^2=2gs \Rightarrow 3v_1^2=2gs$,

$v_1=\sqrt{\frac{2gs}{3}}$,

$v_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{3}}=10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.

При отсутствии сопротивления воздуха, ускорение будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.

Примем за начало координат положение тела у поверхности земли. Координатную ось направим по ходу движения тела — вниз. Тогда первоначально тело находится в точке с отрицательной координатой $x_0=-h_0$, где $h_0$ — начальная высота на которой находится тело. Учитывая знаки проекций векторов на координатную ось $x$, а также тот факт, что тело падает свободно ($v_0=0$), запишем уравнение координаты и найдем ее через 2 секунды движения

$x=-h_0+\frac{gt^2}{2}$,

$x=-30+\frac{10 \cdot 2^2}{2}=-10$ м.

Значит тело находится на высоте 10 м от поверхности земли через 2 с движения.

Ответ: 10 м.

При отсутствии сопротивления воздуха, ускорение будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.

Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тело начало движение, т.е. $x_0=0$.

Так как тело свободно падает, то $v_0=0$. Значит координата имеет вид 

$x=\frac{gt^2}{2}$.

По условию, за время $\tau$ и $\frac{1}{2}\tau$ тело проходит одинаковые пути, найдем их

$x_1=h=\frac{10\cdot 1^2}{2}=5$ м.

Поскольку нам известно время движения на последнем участке, то найдем время, через которое тело откажется в точке с координатой $x_2$, обозначим его через $t$, а время движения на втором участке $t_2=\frac{1}{2}\tau=0,5$ с, тогда

$x_2=\frac{gt^2}{2}$,

$x_3=\frac{g(t+t_2)^2}{2}$,

$h=x_3-x_2=\frac{g(t+t_2)^2}{2}-\frac{gt^2}{2}$,

$h=\frac{gt^2}{2}-\frac{g(t^2+2t t_2 +t_2 ^2)}{2}=\frac{gt^2}{2}-\frac{gt^2}{2}-\frac{2gtt_2}{2}-\frac{gt_2^2}{2}$,

$h=gtt_2+\frac{gt_2^2}{2}$,

$gtt_2=h-\frac{gt_2^2}{2}$,

$t=\frac{h}{gt_2}-\frac{t_2}{2}$,

$t=\frac{5}{10 \cdot 0,5}-\frac{0,5}{2}=0,75$ с.

Итого, общее время движения $t_o=t+t_2=0,75+0,5=1,25$ с.

Ответ: 1,25 с.

Парашютист движется относительно поверхности земли равномерно. Расстояние в 100 м он преодолеет за время

$t_1=\frac{h}{v_1}$, $t_1=\frac{100}{5}=20$ с.

При отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вниз будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,

где $v_{0x}$ — скорость тела относительно поверхности земли, а $x_0=0$. Найдем начальную скорость тела относительно поверхности земли.

Нам задана скорость тела относительно парашютиста. Будем считать систему отсчета, связанной с парашютистом неподвижной. Движущуюся систему отсчета свяжем с землей. Скорость земли относительно парашютиста равна скорости парашютиста относительно земли $v=5$ м/с. Тогда скорость тела относительно парашютиста будет равна сумме скорости тела относительно земли и скорости земли относительно парашютиста $\vec{v}_2=\vec{v}_0+\vec{v}$. С учетом знаков проекций (см. рисунок), получим $v_2=v_0-v\Rightarrow v_0=v_2+v$, $v_0=10+5=15$ м/с.

Когда тело находится на поверхности земли, его координата равна первоначальной высоте на которой находится тело

$h=v_{0}t+\frac{gt^2}{2}$.

Решим это уравнение относительно неизвестной $t$. Но вначале преобразуем его: перенесем $h$ в правую сторону и домножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей

$gt^2+2v_{0}t-2h=0$,

$a=g$, $b=2v_0$, $c=-2h$,

$D=b^2-4ac=(2v_0)^2-4 \cdot g \cdot (-2h)=4v_0^2+8gh$.

Квадратное уравнение имеет два корня, один из них будет отрицательный, мы его не берем. Время движения будет равно

$t=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$,

$t=\frac{-2v_0+\sqrt{4v_0^2+8gh}}{2g}$,

$t=\frac{-2 \cdot 15+\sqrt{4 \cdot 15^2+8 \cdot 10 \cdot 100}}{2 \cdot 10}\approx 3,22$ с.

Разница во времени падения тел составит $\Delta t=t_1-t$, $\Delta t=20-3,22=16,78$ с.

Ответ: 16,78 с.

Предположим, что тело действительно движется равноускоренно. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2}$,

судя по рисунку $y_0=0$, а из условия задачи следует, что $v_0=0$. Тогда уравнение координаты примет вид

$y=\frac{a_yt^2}{2} \Rightarrow a_y=\frac{2y}{t^2}$.

Найдем проекцию ускорения тела, пользуясь тем, что в момент времени $t_1=1$ с $x_1=6$ м; в момент времени $t_2=2$ с $x_2=24$ м; в момент времени $t_3=3$ с $x_3=54$ м. Имеем

$a_{1y}=\frac{2 \cdot 6}{1^2}=12$ м/с².

$a_{2y}=\frac{2 \cdot 24}{2^2}=12$ м/с²,

$a_{3y}=\frac{2 \cdot 54}{3^2}=12$ м/с².

Таким образом, в любые промежутки времени ускорение оставалось неизменным, следовательно, движение на планете было равноускоренным с ускорением $a=12$ м/с².

Ответ: 12 м/с².

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$.

С учетом знаков проекций векторов (см. рисунок), уравнение проекции скорости шарика будет иметь вид $v_x=v_0-gt$, а протекция ускорения шарика $a_x=-g$. Первая зависимость — линейная, график которой представляет собой прямую, наклоненную вниз от некоторого начального значения (график А). Графиком второй зависимости также является прямая, но поскольку значение ускорения постоянно, то этот график будет представлять собой прямую, идущую параллельно оси времени. Здесь такого графика нет. Очевидно, что график Б является графиком потенциальной энергии, поскольку он начинается из нуля. А в начальный момент времени тело обладало кинетической энергией, т.е. она не была равна нулю.

Ответ: 14

Предлагаем читателям выполнить это задание самостоятельно. Для этого необходимо повторить все рассуждения, описанные в решении задания 8.

Ответ: 32

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$.

Уравнение координаты при движении тела в общем виде имеет вид: $y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$. Пусть начальная координата тела — первоначальная высота $h$, с которой было брошено тело. Тогда, с учетом знаков проекций векторов начальной скорости и ускорения на координатную ось $Oy$, уравнение координаты перепишется в виде

$y=h+v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$.

В момент падения на землю координата тела будет равна нулю. Подставим это значение в уравнение и найдем искомую высоту

$h+v_{0}t-\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow h=\frac{gt^2}{2}-v_{0}t$,

$h=\frac{10 \cdot 3^2}{2}-10 \cdot 3=15$ м.

Ответ: 15 м.

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Рассмотрим вначале движение первого тела в первые три секунды полета и определим высоту, на которой будет находиться тело, а также выясним чему будет равна скорость тела и куда она будет направлена. Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось направим вверх, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.)

Уравнение координаты при движении тела в общем виде имеет вид: $y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$. С учетом знаков проекций векторов начальной скорости и ускорения на координатную ось $Oy$, уравнение координаты перепишется в виде

$y=v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$.

Тогда искомая высота равна

$h=20 \cdot 3-\frac{10 \cdot 3^2}{2}=15$ м.

С учетом знаков проекций векторов (см. рисунок), уравнение проекции скорости шарика будет иметь вид $v_x=v_0-gt$. Тогда ее значение будет равно $v_x=20-10 \cdot 10=-10$ м/с. Это выражение означает, что к моменту броска второго тела, первое тело будет падать вниз со скоростью 10 м/с. Рассмотрим теперь совместное движение тел

Начальная координата первого тела будет равна высоте, на которой оно находится. Начальная координата второго тела — равна нулю. С учетом знаков проекций векторов (см. рис.), координаты тел будут иметь вид

$y_1=h-vt-\frac{gt^2}{2}$,

$y_2=v_1t-\frac{gt^2}{2}$.

В момент встречи координаты тел будут одинаковы $y_1=y_2$

$h-vt-\frac{gt^2}{2}=v_1t-\frac{gt^2}{2}$,

$h=v_1t+vt$,

$t=\frac{h}{v_1+v}$,

$t=\frac{15}{10+10}=0,75$ с.

Находим высоту $H$, на которой встретятся тела. Для этого достаточно подставить найденное время в любое из уравнений координат

$H=15-10 \cdot 0,75-\frac{10 \cdot 0,75^2}{2}\approx 4,7$ м.

Ответ: примерно 4,7 м.

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось направим вверх, начало координат поместим на ту высоту, откуда бросают тело вверх (см. рис.), это позволит избежать нам наличия начальной координаты в уравнениях

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Уравнение его координаты будет иметь вид

$y_1=v_1t-\frac{gt^2}{2}$.

Второе тело движется равномерно вниз, уравнение его координаты будет иметь вид $y_2=-v_2t$. В тот момент времени, когда первое тело поравняется со вторым, их координаты будут одинаковыми. Приравняем координаты и найдем время, через которое тела встретились

$v_1t-\frac{gt^2}{2}=-v_2t$,

$v_1t+v_2t=\frac{gt^2}{2}$,

$v_1+v_2=\frac{gt}{2}$,

$t=\frac{2(v_1+v_2)}{g}$,

$t=\frac{2 \cdot (10+5)}{10} =3$ с.

Ответ: 3 с.

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось направим вверх, начало координат будем отсчитывать от места броска.

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Уравнение его координаты будет иметь вид

$y=v_0t-\frac{gt^2}{2}$.

По условию тело дважды побывало на одной и той же высоте, то есть дважды его координата принимала одно и то же значение, в моменты времени $t_1=0,8$ с и $t_2=1,5$ с. Воспользуемся этим, чтобы найти начальную скорость броска

$y=v_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}$,

$y=v_0t_2-\frac{gt_2^2}{2}$,

$v_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=v_0t_2-\frac{gt_2^2}{2}$,

$v_0t_1-v_0t_2=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt_2^2}{2}$,

$v_0(t_1-t_2)=\frac{g(t_1^2-t_2^2)}{2}$,

$v_0(t_1-t_2)=\frac{g(t_1-t_2)(t_1+t_2)}{2}$,

$v_0=\frac{g(t_1+t_2)}{2}$,

$v_0=\frac{10 \cdot(0,8+1,6)}{2}=12$ м/с.

Теперь можем найти искомую высоту, для этого достаточно подставить все имеющиеся данные в любое из уравнений, написанных выше

$y=12 \cdot 0,8-\frac{10 \cdot 0,8^2}{2}=6,4$ м.

Ответ: 6,4 м.

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. 

С учетом знаков проекций векторов (см. рисунок), уравнение проекции скорости шарика будет иметь вид $v_x=v_{0x}+g_xt$. Найдем начальную скорость тела $v_0=v_x+gt$. Определимся со знаком проекции. Понятно, что до момента времени 0,5 с тело поднималось вверх, поскольку его скорость уменьшалась, пока не стала равной нулю. Пока тело поднимается вверх $v_x=v$. В момент времени $t=0,1$ с модуль скорости тела равен $v=4$ м/с. Значит, начальная скорость тела равна $v_0=4+10 \cdot 0,1=5$ м/с (утверждение 3 — не верно).

Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении находится по формуле

$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}\Rightarrow s=\frac{v_x^2-v_0^2}{-2g}$

$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}\Rightarrow s=\frac{(\pm v)^2-v_0^2}{-2g}=\frac{v_0^2-v^2}{2g}$.

Знак «±» в проекции скорости означает, что она может быть как положительной (когда тело движется вверх), так и отрицательной (когда тело движется вниз). Но, так как проекция скорости находится в квадратной степени, это не будет иметь решающего значения, поэтому мы его убрали и оставили просто модуль скорости.

В тот момент времени, когда тело достигло наибольшей высоты подъема, его скорость равна нулю. Значит наивысшая высота подъема равна

$H=\frac{5^2}{2 \cdot 10}=1,25$ м.

Значит, утверждение 1 — не верно. Найдем на какой высоте находится тело, имея скорость $v=3$ м/с

$h=\frac{5^2-3^2}{2 \cdot 10}=0,8$ м.

Утверждение 2 — верно. В момент времени $t=0,9$ с скорость тела равна $$v=4$ м/с. Находим высоту, на которой находится тело

$h=\frac{5^2-4^2}{2 \cdot 10}=0,45$ м.

Утверждение 4 — верно. Очевидно, что утверждение 5 не будет верным, т.к. тело находится на высоте 0,45 м, если его скорость равна 4 м/с, а в момент времени $t=0,2$ с скорость тела равна $v=3$ м/с.

Ответ: 24

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.). Координата $x$ определяет дальность полета тела. В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного горизонтально, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$, значит оно в процессе движения меняться не будет.  

Координаты тела при равноускоренном движении имеют вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$.

В проекциях на координатные оси эти уравнения перепишутся в виде

$x=v_0t$,

$y=H-\frac{g t^2}{2}$.

Поскольку высота, с которой было брошено тело, не меняется, то не изменится и время падения. Такой вывод можно сделать проанализировав уравнение координаты $y$, которая не зависит от начальной скорости движения. Уравнение $x=v_0t$ показывает нам, что при уменьшении начальной скорости броска и неизменном времени падения, дальность полета тела — уменьшится.

Ответ: 23

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.). Координата $x$ определяет дальность полета тела. Координата $y$ — высоту, на которой находится тело. Судя по таблице, дальность полета тела составляет 20 м, т.е. утверждение 2 — не верно. Начальная высота, на которой находится тело, равна 80 м. Через 2 с движения координата $y$ (высота на которой будет находиться тело) будет равна 60 м, т.е. утверждение 5 также не верно. В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного горизонтально, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$.  

Координаты тела при равноускоренном движении имеют вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$.

В проекциях на координатные оси эти уравнения перепишутся в виде

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Найдем начальную скорость. Время падения тела — $t=4$ с, т.к в этот момент времени $y=0$, что соответствует моменту падения тела на землю. Тогда, из формулы координаты $x$ имеем

$v_0=\frac{x}{t}\Rightarrow v_0=\frac{20}{4}=5$ м/с.

Утверждение 1 — верно. Рассмотрим вопрос о том, как изменится дальность полета при изменении скорости броска. Из формулы координаты $y$ видно, что время падения тела не зависит от начальной скорости, а определяется только высотой, на которой изначально находится тело (в этом нетрудно убедиться, если вывести формулу времени падения тела). Тогда из формулы координаты $x=v_0t$ следует, что при неизменном времени падения и увеличении начальной скорости тела в 2 раза, дальность полета также увеличится в 2 раза и составит 40 м. Значит, утверждение 4 — верно.

Модуль скорости найдем через ее проекции на координатные оси $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

$v_x=v_{0x}+g_xt\Rightarrow v_x=v_0$, $ v_x=5$ м/с,

$v_y=v_{0y}+g_yt\Rightarrow v_y=-gt$, $v_y=-10 \cdot 2=-20$ м/с,

$v=\sqrt{5^2+(-20)^2}\approx 21$ м/с.

Утверждение 3 — верно.

Ответ: 134

Особенности введения системы отсчета и рисунок смотри в предыдущей задаче. Координаты тела имеют вид

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Найдем высоту, на которой будет находиться тело через 2 секунды полета

$y=5-\frac{10 \cdot 2^2}{2}=-15$ м.

Но может ли быть у тела отрицательная координата? Мы связывали начало координат с поверхностью земли, поэтому ниже начала координат тело упасть не может. Это означает, что к моменту времени $t=2$ с тело уже упало на поверхность земли и не движется, т.е. его высота относительно поверхности земли в указанный момент времени равна нулю.

Ответ: 0 м, тело будет находиться на поверхности земли.

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.). Координаты тела имеют вид

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Для того чтобы найти высоту, нужно узнать время через которое скорость груза будет составлять угол 30° с горизонтом. При криволинейном движении скорость тела направлена по касательной. Как видно из построений на рисунке, угол наклона скорости к горизонту можно найти через тангенс этого угла

$tg \alpha =\frac{\left|v_y \right|}{\left| v_x \right|}=\frac{\left|v_{0y}+g_yt \right|}{\left|v_{0x}+g_xt \right|}=\frac{gt}{v_0}$,

$gt=v_0 tg \alpha \Rightarrow t=\frac{v_0 tg \alpha}{g}$.

Подставим это время в координату $y$ и вычислим ее

$y=h-\frac{g }{2} \cdot \frac{v_0^2 tg^2 \alpha }{g^2} =h- \frac{v_0^2 tg^2 \alpha }{2g}$,

$y= 500 — \frac{50^2 \cdot \left(\sqrt{3} \right)^2}{2 \cdot 10} =125$ м.

Ответ: 125 м.

Особенности введения системы отсчета и рисунок смотри в задаче 16. Координаты тела имеют вид

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Поскольку высота равна дальности полета, то при падении на землю $x=h$, выразим отсюда время движения и подставим его в координату $y$, учитывая что она в момент падения будет равна нулю

$t=\frac{h}{v_0} \Rightarrow h-\frac{gh^2}{2v_0^2}=0$,

$1-\frac{gh}{2v_0^2}=0$,

$\frac{gh}{2v_0^2}=1 \Rightarrow h=\frac{2v_0^2}{g}$,

$\frac{gh}{2v_0^2}=1 \Rightarrow h=\frac{2 \cdot 10^2}{10}=20$ м.

Ответ: 20 м.

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.).

Запишем уравнения движения для груза, брошенного с самолета и корабля соответственно, учитывая, что начальной координатой $x_0$ второго тела будет искомое расстояние $l$

$x_1= v_0t$,

$y_1=h-\frac{gt^2}{2}$,

$x_2=l-vt$, $y_2=0$.

Время встречи найдем из условия, что груз должен упасть с определенной высоты, используем координату $y$ движения груза — в момент падения она будет равна нулю

$h-\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow 2h=gt^2$,

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$,

$t=\sqrt{\frac{2 \cdot 500}{10}}=10$ с.

В момент, когда груз упадет на корабль, координаты груза и корабля будут равны 

$v_0t=l-vt \Rightarrow l=t(v_0+v)$,

$l=10 \cdot (100+10)=1100$ м.

Ответ: 1100 м.

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Распишем какой вид будет иметь каждая зависимость.

1) Координата $x$ мячика: $x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}\Rightarrow x=v_0 cos\alpha \cdot t$. Эта зависимость — линейная. График берет свое начало в начале координат и поднимается вверх (координата все время возрастает, пока тело не упадет на землю). Такой зависимости в представленных вариантах — нет.

2) Проекция импульса мячика на ось $x$: $p_x=mv_x=m(v_{0x}+g_xt)=mv_0 cos\alpha =const$. Зависимость является величиной постоянной при заданных значениях массы, начальной скорости и угла бросания. Эта величина не зависит от времени. Такую зависимость выражает график А.

3) Проекция импульса мячика на ось $y$: $p_y=mv_y=m(v_{0y}+g_yt)=mv_0 sin\alpha -mgt$. Вид зависимости — линейная. Поскольку коэффициент при независимой переменной $t$ — отрицательный, то график этой зависимости будет представлять собой прямую, наклоненную вниз (график Б).

4) Потенциальная энергия мячика: $E=mgh=mgy=mg\left(y_0+v_{0y}t+\frac{g_yt^2}{2} \right)=mg\left(h+v_0 sin\alpha \cdot t-\frac{gt^2}{2} \right)$. Зависимость — квадратичная, т.к. независимая переменная $t$ во второй степени. График квадратичной зависимости — парабола. Такого графика здесь нет.

Итого: А-2, Б-3.

Ответ: 23

Первая зависимость — зависимость проекции импульса мячика на ось $x$ (см. предыдущее задание). Вторая зависимость — потенциальной энергии мячика от времени (см. предыдущее задание). Напомним, что эта зависимость выражается формулой

$E=mg\left(h+v_0 sin\alpha \cdot t-\frac{gt^2}{2} \right)$.

Ветви этой параболы направлены вниз (что и показано на рисунке Б), т.к. коэффициент при $t^2$ отрицательный. Кроме того, в начальный момент времени ($t=0$) $E_0\neq 0$, $E_0=mgh$.

Итого: А-3, Б-4.

Ответ: 34

Получим формулы для нахождения дальности и времени полета шарика.

Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем время полета. В момент падения тела на землю $y=0$, используем это

$v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}=0$,

домножим это выражение на 2 и разделим на $t$, а затем выразим оттуда время движения

$2v_0 sin \alpha — g t=0$,

$2v_0 sin \alpha = g t$,

$t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$.

Так как $sin 30 ^{\circ} > sin 20 ^{\circ}$, то время полета увеличится. Теперь найдем дальность полета тела, как координату $x$

$l=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}=\frac{v_0^2 sin 2\alpha}{g}$.

Так как $sin 60 ^{\circ} > sin 40 ^{\circ}$, то дальность полета тела также увеличится.

Ответ: 11

При криволинейном движении скорость тела направлена по касательной (см. рисунок). Очевидно, что условия равенства проекций будет выполняться дважды: когда тело поднимается вверх и когда тело опускается вниз. Нас интересует наименьшее расстояние по горизонтали. Значит, мы должны рассматривать случай, когда тело поднимается вверх. В этом случае обе проекции скорости будут положительные, тогда мы имеем равенства

$\left|v_y \right| = 0,25 \left|v_x \right|\Rightarrow v_y=0,25v_x$.

Найдем проекции скорости на координатные оси и составим уравнение, которое позволит нам найти время, через которое выполнится условие, описанное нами выше

$v_x=v_{0x}+g_xt=v_0 cos\alpha $,

$v_y=v_{0y}+g_yt=v_0 sin\alpha -gt$,

$v_0 sin\alpha -gt=v_0 cos\alpha$,

$v_0 sin\alpha -v_0 cos\alpha=gt$,

$t=\frac{v_0(sin \alpha — cos\alpha)}{g}$,

$t=\frac{20 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2})}{10}=(\sqrt{3}-1)$ с.

Напишем уравнения движения тела вдоль горизонтальной оси и найдем искомое расстояние

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$x=20 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3}-1)\approx 7,32$ м.

Ответ: примерно 7,32 м.

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения, т.е. ускорение тела меняться не будет. Потенциальная энергия зависит от высоты, если высота увеличивается, то потенциальная энергия также увеличивается.

Ответ: 13

Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_{0x} t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем проекции начальной скорости на координатные оси, взяв, например, координаты тела в момент времени $t=0,8$ с

$v_{0x}=\frac{x}{t}$, $v_{0x}=\frac{2,4}{0,8}=3$ м/с,

$v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}=0\Rightarrow v_{0y}=\frac{gt}{2}$, $v_{0y}=\frac{10 \cdot 0,8}{2}=4$ м/с.

Тогда, модуль начальной скорости $v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$, $v_0=\sqrt{3^2+4^2}=5$ м/с (утверждение 3 — неверно). Угол наклона найдем через его тангенс

$tg \alpha =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\frac{4}{3}>1\Rightarrow \alpha >45^{\circ}$.

Утверждение 4 — неверно. Заметим также, что наивысшая высота подъема (координата $y$) равна 0,8 м, а значит утверждение 5 — неверно. Осталось два утверждения, истинность которых мы не проверили. Но в заданиях такого типа может быть минимум два верных утверждения. Получается, что утверждения 1 и 2 — верные. Докажем это. Модуль скорости может быть найден по формуле $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

$v_x=v_{0x}+g_xt=v_{0x}$, $v_x=3$ м/с,

$v_y=v_{0y}+g_yt=v_{0y} -gt$,

$v_y=4 -10 \cdot 0,4=0$,

$v=\sqrt{3^2+0^2}=3$ м/с.

В момент времени $t=0,2$ с проекция скорости $v_y$ равна: $v_y=4 -10 \cdot 0,2=2$ м/с.

Ответ: 12

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения, т.е. ускорение тела меняться не будет. Найдем время подъема. В наивысшей точке траектории, скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю

$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$, 

отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$. Из полученной формулы видно, что при уменьшении начальной скорости, время подъема также уменьшится.

Ответ: 23

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем время подъема, а затем высоту подъема. В наивысшей точке траектории, скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю

$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$, 

отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$. Высота подъема — координата $y$

$H=y=v_0 sin \alpha \cdot \frac{v_0 sin \alpha }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_0 sin \alpha }{g} \right )^2}{2}=$

$=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{g}-\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}$.

Найдем время полета. В момент падения тела на землю $y=0$, используем это

$v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}=0$,

домножим это выражение на 2 и разделим на $t$, а затем выразим оттуда время движения

$2v_0 sin \alpha — g t=0$,

$2v_0 sin \alpha = g t$,

$t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$.

Теперь найдем дальность полета тела, как координату $x$

$l=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$.

По условию, дальность полета равна высоте подъема. Составим уравнение и решим его

$\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$.

Сокращаем общие множители и домножаем на 2 обе части уравнения

$sin\alpha =4cos\alpha$.

Синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно быть равны нулю, поэтому обе части полученного уравнения можно разделить, например, на косинус. Получим

$tg\alpha =4\Rightarrow \alpha =arctg 4$, $\alpha \approx 76^{\circ}$.

Ответ: $\alpha =arctg 4$ или $\alpha \approx 76^{\circ}$.

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$.

Видно, что $s=\sqrt{x^2+y^2}$. Найдем координаты тела и перемещение тела в момент времени $t=1$ с

$x=20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1=10\sqrt{2}$ м,

$y=20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1- \frac{10 \cdot 1^2}{2}=(10\sqrt{2}-5)$ м,

$s=\sqrt{(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2}-5)^2}\approx 16,84$ м.

Очевидно, что угол β можно найти из соотношения

$tg\beta =\frac{y}{x}=\frac{10\sqrt{2}-5}{10\sqrt{2}}=1-\frac{5}{10\sqrt{2}}=1-\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,65$,

$\beta = arctg 0,65$ или $\beta \approx 33^{\circ}$.

Ответ: примерно 16,84 м; $\beta = arctg 0,65$ или примерно $33^{\circ}$.

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тела — сила тяжести. Это означает, что оба тела будут двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Напишем уравнения движения тел

для тела брошенного под углом к горизонту:

$x_1=x_{01}+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_{0x} t$,

$y_1=y_{01}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$;

для тела брошенного вертикально вверх:

$x_2=x_{02}+u_xt+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=l$,

$y_2=y_{02}+u_yt+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=u t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем время подъема. В наивысшей точке траектории, скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю

$v_y=v_{0y}+g_y t = v_{0y} — gt=0$, 

отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_{0y}}{g}$. В момент встречи, тела будут иметь одинаковые координаты. Приравняем их, получим уравнения из которых найдем проекции начальной скорости на координатные оси

$v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}=u t- \frac{g t^2}{2}\Rightarrow v_{0y} t=ut$,

$v_{0y} =u=6$ м/с.

$v_{0x} t=l\Rightarrow v_{0x}=\frac{l}{t}=l:\frac{v_{0y}}{g}=\frac{gl}{v_{0y}}$,

$v_{0x}=\frac{10 \cdot 4,8}{6} =8$ м/с.

Находим модуль начальной скорости $v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$, $v_0=\sqrt{8^2+6^2}=10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.