Задача. По прямолинейной автостраде движутся равномерно навстречу друг другу автобус и мотоциклист. В начальный момент времени координаты автобуса и мотоциклиста соответственно равны 500 м и —300 м, а скорости движения 20 м/с и 10 м/с. Напишите уравнение движения автобуса и мотоциклиста, найдите положение этих тел через 5 с. Когда каждый из них пройдет через начало координат? В какой момент времени и где произойдет их встреча? Каким будет расстояние между ними через 1,5 мин после начала наблюдения?
Решение. Сделаем поясняющий рисунок к задаче. Систему отсчета свяжем с автострадой (землей), координатную ось направим вдоль автострады в том же направлении, в котором движется мотоциклист. Начальные координаты тел определены в условии задачи
Тела движутся равномерно, значит уравнение движения каждого тела выражается формулой $x=x_{0}+v_{x}t$. Проекция скорости мотоциклиста $\vec{v}_2$ на координатную ось $x$ положительна и равна $v_{2x}=10$ м/с. Проекция скорости автобуса $\vec{v}_1$ на координатную ось $x$ отрицательна и равна $v_{1x}=-20$ м/с. С учетом начальных координат тел, получим уравнения движения автобуса и мотоциклиста
$x_{1}=500-20t$,
$x_{2}=-300+10t$.
Для того чтобы определить положение тел через 5 с движения, необходимо подставить в полученные уравнения значение $t=5$ с:
$x_{1}=500-20\cdot 5 = 400$ м,
$x_{2}=-300+10\cdot 5 = -250 $ м.
Если тело проходит через начало координат, то его его координата равна нулю. Можем составить уравнения из которых найдем значения времени через которые тела будут находиться в начале координат:
$500-20t=0\Rightarrow t=25$ с,
$-300+10t=0\Rightarrow t=30$с.
В момент встречи координаты тел будут равны, т.е. $x_1=x_2$, отсюда следует
$500-20\cdot t = -300+ 10 \cdot t$, значит, $ t\approx 26,7 $ с.
Для того чтобы найти место встречи подставим найденное время в одно из уравнений, например, в первое
$x_{1}\approx 500-20 \cdot 26,7 = -34$ м.
Расстояние между телами можно найти как разность координат тел $l=\left | x_{1}-x_{2} \right |$. Моменту времени 1,5 минуты в системе СИ соответствует время 90 с. Вначале найдем координаты тел через 1,5 минуты движения, а уже затем вычислим расстояние между ними
$x_{1}=500-20\cdot 90 = -1300$ м,
$x_{2}=-300+10\cdot 90 = 600 $ м,
$l=\left | -1300-600 \right |=1900$ м.
Ответ: $x_{1}=500-20t$, $x_{2}=-300+10t$; 400 и -250 м; 25 с и 30 с; $\approx 26,7 $ с, -34 м; 1900 м.