Задача. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со скоростью 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Написать уравнения движений мотоциклистов в системе отсчета, связанной с землей, приняв за начало координат место нахождения второго мотоциклиста в начальный момент времени и выбрав за положительное направление оси X направление движения мотоциклистов. Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов (рекомендуемые масштабы: в 1 см 100 м; в 1 см 5 с). Найти время и место встречи мотоциклистов.
Решение. Сделаем поясняющий рисунок к задаче. Систему отсчета свяжем с шоссе (землей), координатную ось направим вдоль шоссе в том же направлении, в котором движутся тела. Согласно условию, начало координат находится в месте нахождения второго мотоциклиста в начальный момент времени, т.е. $x_{02}=0$ м. Поскольку расстояние между телами в начальный момент времени равно 200 м, то в начальный момент времени первый мотоциклист находился в точке с координатой $x_{01}=200$ м.
Тела движутся равномерно, значит уравнение движения каждого тела выражается формулой $x=x_{0}+v_{x}t$. Проекция скоростей мотоциклистов на координатную ось положительны, т.е. $v_{1x}=10$ м/с, а $v_{2x}=20$ м/с. С учетом начальных координат тел, получим уравнения движения автобуса и мотоциклиста
$x_{1}=200+10t$,
$x_{2}=20t$.
Полученные уравнения представляют собой зависимости координат тел от времени (ответ на вопрос почему это так, можно найти в теории по прямолинейному равномерному движению или в статье «Зависимости величин в физике и их графики«). Эти зависимости имеют линейный вид, графиками будут являться две прямые линии. Для того чтобы построить график нам потребуются координаты двух точек прямых. Составим таблицу значений
По данным значениям строим графики зависимостей координат тел от времени.
Пересечение графиков соответствует моменту встречи тел (точка А на рисунке). Из графика видно, что мотоциклисты встретились в момент времени $t=20$ с от начала движения, в точке с координатой $x_B=400$ м.
Аналитическое решение. В момент встречи координаты тел будут равны, т.е. $x_1=x_2$, отсюда следует
$200+10t = 20 t$, $200=20 t-10 t$,
$10 t =200 \Rightarrow t=20$ с.
Для того чтобы найти место встречи подставим найденное время в одно из уравнений, например, во второе
$x_{B} = 20 \cdot 20 = 400$ м.
Ответ: 20 c и 400 м.