Задача. Два автопоезда движутся навстречу друг другу по прямому шоссе со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч. В некоторый момент времени они оказываются на расстоянии 40 км и 30 км соответственно от середины узкого участка шоссе, на котором возможно только одностороннее движение. Длина этого участка 1,5 км. Помешают ли автопоезда друг другу при проезде этого участка?
Решение. Сделаем поясняющий рисунок к задаче, на котором покажем положение тел в начальный момент времени и направление их скоростей. Систему отсчета свяжем с шоссе (землей), а координатную ось направим в направлении движения первого автопоезда, движущегося со скоростью 72 км/ч. Начало координат поместим в середину узкого участка шоссе. В начальный момент времени первый автопоезд находился на расстоянии 40 км от узкого участка, значит $x_{01}=-40$ км. В начальный момент времени первый автопоезд находился на расстоянии 40 км от узкого участка, значит $x_{01}=-40$ км. Второй автопоезд находился на расстоянии 30 км от узкого участка, значит $x_{02}=30$ км. Заметим также, что узкий участок шоссе имеет протяженность 1,5 км, т.е. по 0,75 км в обе стороны от узкого участка. Поэтому, если координата встречи автопоездов попадет в интервал $\left[-0,75;0,75 \right]$, то автопоезда помешают друг другу. Далее задача сводится к поиску координаты места встречи тел.
Напишем уравнения движения тел. Проекция скорости первого автопоезда $\vec{v}_1$ на координатную ось положительна, т.е. $v_{1x}=72$ км/ч. Проекция скорости второго автопоезда $\vec{v}_2$ отрицательна, т.е. $v_{2x}=-54$ км/ч. Записываем уравнения движения тел
$x_{1}=-40+72t$,
$x_{2}=30-54t$.
В момент встречи координаты тел будут равны, т.е. $x_1=x_2$, отсюда следует
$-40+72t=30-54t$,
$72t+54t=40+30$,
$126t=70 \Rightarrow t=\frac{70}{126}=\frac{5}{9}$ ч.
Для того чтобы найти место встречи подставим найденное время в одно из уравнений, например, в первое
$x_{1} = -40 +72 \cdot \frac{5}{9} =0$ км.
Получается, что тела должны встретиться как раз посредине узкого участка шоссе, а значит они помешают друг другу.
Ответ: помешают.