Задачи по кинематике. Задача К31

Задача. Начальные координаты материальной точки $x_0=0$ м, $y_0=20$ м. Она движется прямолинейно и равномерно со скоростью 10 м/с вверх под углом 30° к горизонту.

а) Запишите формулы, выражающие зависимость координат  и  материальной точки от времени (в единицах СИ).
б) Запишите уравнение траектории материальной точки в единицах СИ (зависимость $y(x)$).
в) На какую высоту поднимется материальная точка за 30 с?
г) Чему равен модуль перемещения материальной точки за 30 с?

Решение. Сделаем поясняющий рисунок к задаче. Систему отсчета свяжем с землей, координатную оси направим так, как показано на рисунке.

а) Тело движутся равномерно, значит уравнения движения выражаются формулами $x=x_{0}+v_{x}t$ и $y=y_0+v_yt$. Найдем проекции вектора скорости на координатные оси (построение проекций показано на рисунке). Рассмотрим $\Delta ABC$ — это прямоугольный треугольник, катеты корого равны длинам проекций, а длина гипотенузы — длина вектора $\vec{v}$. По условию задачи $\angle BAC = \alpha =30 ^{\circ}$ — угол наклона вектора скорости к горизонту. Из данного прямоугольного треугольника можно получить соотношения

$\frac{v_x}{v}=cos \alpha \Rightarrow v_x=v cos \alpha$,

$v_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ м/с,

$\frac{v_y}{v}=sin \alpha \Rightarrow v_y=v sin \alpha$,

$v_y= 10 \cdot 0,5=5$ м/с

Таким образом, уравнения движения точки будут иметь вид

$x = 5\sqrt{3}t$,

$y= 20 +5t$.

б) Для того чтобы составить уравнение траектории, выразим переменную $t$ из уравнения координаты $x$ и подставим вместо нее полученное выражение во второе уравнение

$t=\frac{x}{5\sqrt{3}}$, 

$y= 20 +\frac{x}{5\sqrt{3}} \cdot 5=20+\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

в) Высота соответствует координате $y$. Поэтому, чтобы найти высоту точки в момент времени $t=30$ с, необходимо подставить это значение времени в уравнение координаты $y$:

$y= 20 +5 \cdot 30=170$ м.

г) Модуль перемещения при равномерном прямолинейном движении находится по формуле $s=vt$, поэтому $s=10 \cdot 30=300$ м.

Ответ: $x = 5\sqrt{3}t$, $y= 20 +5t$, $y= 20+\frac{\sqrt{3}}{3}x$, 170 м, 300 м.

Вернуться обратно к списку задач