Задача. Радиолокатор, принимающий сигнал с интервалом времени 2 с, дважды засек координаты тела, движущегося равномерно по прямой. Первое измерение дало $x_1=0$ м, $y_1=30$ м; второе — $x_2=30$ м, $y_1=-10$ м. Найдите проекции скорости на оси ОX и OY. Найдите модуль скорости движения.
а) Запишите формулы, выражающие зависимость координат материальной точки от времени (в единицах СИ).
б) Запишите уравнение траектории материальной точки в единицах СИ.
в) Чему будут равны координаты тела через 15 с?
г) Чему равен модуль перемещения материальной точки за 15 с?
Решение. Найдем проекции скорости тела на координатные оси. При равномерном прямолинейном движении
$v_x=\frac{x_2-x_1}{t}$, $v_x=\frac{30-0}{2}=15$ м/с,
$v_y=\frac{y_2-y_1}{t}$, $v_x=\frac{-10-30}{2}=-20$ м/с.
а) Тело движутся равномерно, значит уравнения движения выражаются формулами $x=x_{0}+v_{x}t$ и $y=y_0+v_yt$. В нашем случае $x_{0}=x_1=0$ м, а $y_0=y_1=30$ м. Запишем уравнения движения точки
$x = 15t$,
$y= 30-20t$.
б) Для того чтобы составить уравнение траектории, выразим переменную $t$ из уравнения координаты $x$ и подставим вместо нее полученное выражение во второе уравнение
$t=\frac{x}{15}$,
$y= 30-20 \cdot \frac{x}{15}=30-\frac{4}{3}x$.
в) Найдем координаты тела в момент времени $t=15$ с. Для этого подставим это значение времени в полученные уравнения
$x = 15 \cdot 15=225$ м,
$y= 30-20 \cdot 15=-270$ м.
г) Найдем вначале проекции перемещения тела за 15 с движения
$s_x=v_xt$, $s_x=15 \cdot 15=225$ м,
$s_y=v_yt$, $s_y=-20 \cdot 15=-300$ м.
Модуль перемещения найдем через его проекции
$s=\sqrt{s_x^2+s_y^2}$,
$s=\sqrt{225^2+(-300)^2}=375$ м.
Ответ: а) $x = 15t$, $y= 30-20t$; б) $y= 30-\frac{4}{3}x$; 225 м и -300 м; 375 м.