Задача. На рисунке представлен график зависимости пути $l$ велосипедиста от времени $t$. По графику определите скорость тела на каждом участке движения. Постройте графики зависимости проекции скорости и модуля скорости от времени движения, если известно, что в начальный момент времени тело двигалось в положительном направлении оси $x$, а затем дважды меняло направление движения на противоположное: в моменты времени 8 с и 18 с. Найдите проекции перемещения тела на каждом участке движения и за все время. Определите положение тела в конце каждого участка движения, если начальная координата тела -6 м.
Решение. Для удобства разметим на графике границы отрезков.
При равномерном прямолинейном движении скорость тела можно найти как отношение пройденного пути ко времени движения на этом участке.
На первом участке тело за 8 секунд движения проходит путь 16 м, значит скорость тела на первом участке $v_1=\frac{16}{8}=2$ м/с. По условию задачи, на этом участке тело двигалось в положительном направлении оси $x$, значит $v_{1x}=2$ м/с.
На втором участке тело за 4 секунды движения проходит путь 12 м, значит скорость тела на втором участке участке $v_2=\frac{12}{4}=3$ м/с. Поскольку в момент времени $t=8$ с направление движения тела изменилось на противоположное, то теперь тело движется в направлении противоположном оси $x$, т.е. $v_{2x}=-3$ м/с.
На третьем участке движения путь не увеличивается — тело покоится, т.е. $v_3=0$ м/с.
На четвертом участке тело за 6 секунд движения проходит путь 12 м, значит скорость тела на втором участке участке $v_4=\frac{12}{6}=2$ м/с. В момент времени $t=18$ с направление движения тела вновь меняется на противоположное, т.е. теперь тело движется вновь в положительном направлении оси $x$, значит $v_{4x}=2$ м/с.
Изобразим графики зависимости модуля скорости (первый график) и проекции скорости от времени (второй график).
Проекции перемещения можно найти по формуле $s_x=v_xt$, но, поскольку нам известен путь, проходимый телом на каждом участке, и направление движения на каждом участке, то в этом нет нужды. Дело в том, что при прямолинейном движении путь и перемещение совпадают, если конечно тело не меняет направление движения. Поэтому если мы будем искать перемещение за все время движения, то путь и перемещение не будут совпадать, т.к. тело дважды меняло направление движения. Но на каждом из этапов движения, пока тело не меняет направления движения путь как раз будет равен перемещению. С учетом знаков проекций скоростей получим: $s_{1x}=16$ м, $s_{2x}=-12$ м, $s_{3x}=0$ м, $s_{4x}=12$ м. Перемещение тела за все время движения: $s_x=s_{1x}+s_{2x}+s_{3x}+s_{4x}$, $s_x=16-12+0+12=16$ м.
Координата тела находится по формуле $x=x_0+s_x$. Конечная координата на каждом участке — начальная координата на следующем
$x_1=x_0+s_{1x}$, $x_1=-6+16=10$ м,
$x_2=x_1+s_{2x}$, $x_2=10-12=-2$ м,
$x_3=x_2+s_{3x}$, $x_3=-2+0=-2$ м,
$x_4=x_3+s_{4x}$, $x_4=-2+12=10$ м.
Заметим также, что $x_4=x_0+s_{x}$, $x_4=-6+16=10$ м.
Ответ: $v_{1}=2$ м/с, $v_{2}=3$ м/с, $v_3=0$ м/с, $v_4=2$ м/с; $s_{1x}=16$ м, $s_{2x}=-12$ м, $s_{3x}=0$ м, $s_{4x}=12$ м, $s_{x}=16$ м; $x_1=10$ м, $x_2=-2$ м, $x_3=-2$ м, $x_4=10$ м.