Задача. По реке плывёт плот (см. рис.), а по плоту идёт человек. Скорость человека относительно плота равна 1,5 м/с, а скорость плота относительно берега равна 1 м/с. Длина плота 30 м.
а) Чему равна скорость человека относительно берега при движении от А к B?
б) Чему равна скорость человека относительно берега при движении от B к А?
в) Чему равно время движения человека от А до B?
г) Чему равно время движения человека от B до А?
д) На какое расстояние переместится плот относительно берега за то время, пока человек пройдёт от А к B?
е) На какое расстояние переместится человек относительно берега за то время, пока пройдёт от А к B?
ж) На какое расстояние переместится человек относительно берега за то время, пока пройдёт от B к А?
Решение.
Движущееся тело — человек.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с плотом.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1=1,5$ м/с.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с плотом.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2=1$ м/с.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в движущейся СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$.
а) Выполним рисунок, на котором покажем направление скоростей при движении человека от А к B .
Переходя к проекциям в законе сложения скоростей относительно координатной оси $Ox$, получим
$v_x=v_{1x}+v_{2x}=v_1+v_2=v$,
$v=1,5+1=2,5$ м/с.
Примечание. Равенство $v_x=v$ справедливо, поскольку очевидно, что в результате сложения векторов $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ получается вектор $\vec{v}$ параллельный оси $Ox$ и направленный в ту же сторону что векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, так как они сонаправлены.
Примечание. Обычно на чертеже показывают расположение векторов относительно системы координат, связанной с неподвижной СО К2, без указания системы координат, связанной с подвижной СО К1, поэтому мы в дальнейшем будем поступать также.
б) Выполним рисунок, на котором покажем направление скоростей при движении человека от А к B .
Закон сложения скоростей при рассмотрении движения человека в СО К2 $\vec{v}^\prime=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Переходя к проекциям в законе сложения скоростей относительно координатной оси $Ox$, получим
$v^\prime_x=v_{1x}+v_{2x}=v_2-v_1$,
$v^\prime_x=1-1,5=-0,5$ м/с.
Скорость человека относительно берега будет направлена влево, поэтому проекция отрицательна, модуль скорости $v^\prime=0,5$ м/с.
в) Чтобы найти время движения человека от А до B, нужно рассмотреть движение человека в СО связанной с плотом. Путь пройденный человеком будет равен длине плота, тогда
$t_1=\frac{l}{v_1}$, $t_1=\frac{30}{1,5}=20$ с.
г) Чтобы найти время движения человека от В к А, нужно опять же рассмотреть движение человека в СО связанной с плотом, т.е.
$t_2=\frac{l}{v_1}=t_1$, $t_2=20$ с.
д) Перемещение плота относительно берега за время $t_1$
$s=v_2t_1$, $s=1 \cdot 20=20$ м.
е) Перемещение человека относительно берега за время $t_1$, пока пройдёт от А к B, с учетом того, что скорость человека относительно берега в этом случае равна $v$
$s_1=vt_1$, $s_1=2,5 \cdot 20=50$ м.
ж) Перемещение человека относительно берега за время $t_2$, пока пройдёт от В к А, с учетом того, что скорость человека относительно берега в этом случае равна $v^\prime$
$s_2=v^\prime t_2$, $s_2=0,5 \cdot 20=10$ м.
Ответ: а) 1,5 м/с; б) 0,5 м/с; в) 20 с; г) 20 с; д) 20 м; е) 50 м; ж) 10 м.