Задача. Пешеход идет по прямолинейному участку дороги со скоростью 4 км/ч. Навстречу ему движется автобус со скоростью 40 км/ч. С какой скоростью должен двигаться навстречу пешеходу велосипедист, чтобы модуль его скорости относительно пешехода и автобуса был одинаков?
Решение. В данной задаче рассматривается движение велосипедиста относительно пешехода и относительно автобуса, а скорости пешехода и автобуса заданы относительно земли.
Найдем сначала скорость велосипедиста относительно пешехода.
Движущееся тело — велосипедист.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с пешеходом, т.е. пешехода будем считать неподвижным, а все остальные тела (велосипедист и земля) движутся относительно него.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2=4$ км/ч, т.к. земля будет двигаться относительно пешехода с такой же по модулю скоростью, но в направлении противоположном направлению движения пешехода.
Выполним рисунок, на котором покажем направление скоростей в то время, когда велосипедист приближается к пешеходу. Для полноты картины покажем скорость пешехода относительно земли $\vec{v}_3$, чтобы было понятно, куда направлена скорость земли относительно пешехода.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Поскольку векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ направлены в одну сторону, то модуль вектора $v=v_1+v_2$.
Рассмотрим теперь движение велосипедиста в СО связанной с автобусом.
Движущееся тело — велосипедист.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с автобусом, т.е. автобус будем считать неподвижным, а все остальные тела (велосипедист и земля) движутся относительно него.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_4=40$ км/ч, т.к. земля будет двигаться относительно автобуса с такой же по модулю скоростью, но в направлении противоположном направлению движения автобуса.
Согласно закону сложения скоростей, скорость велосипедиста в неподвижной СО К2 , связанной с автобусом, будет равна $\vec{v}^\prime=\vec{v}_1+\vec{v}_4$. Переходя к проекциям на координатную ось $Ox$, получим $v_x^\prime=v_{1x}+v_{4x}$, $v^\prime=v_4-v_1$.
По условию задачи модуль скорости велосипедиста относительно пешехода и автобуса одинаков, т.е. $v=v^\prime$. Отсюда получаем равенства
$v_1+v_2=v_4-v_1$,
$v_1+v_1=v_4-v_2 \Rightarrow 2v_1=v_4-v_2$,
$v_1=\frac{v_4-v_2}{2}$,
$v_1=\frac{40-4}{2}=18$ км/ч.
Ответ: 18 км/ч.