Задача. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору?
Решение. Очевидно, что в каждом случае, когда человек поднимается вверх, он преодолевает одно и то же расстояние $s$. Когда эскалатор поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение времени $t_1=1$ мин, это расстояние можно найти по формуле $s=v_1t_1$, где $v_1$ — модуль скорости эскалатора относительно земли. Если эскалатор неподвижен и человек поднимается вверх, то расстояние $s=v_2t_2$, где $v_2$ — модуль скорости человека относительно земли.
Рассмотрим теперь последний случай: пассажир идет вверх по движущемуся эскалатору.
Движущееся тело — пассажир.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с эскалатором.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_2$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_1$.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Поскольку векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ направлены в одну сторону, то модуль вектора $v=v_1+v_2$. Тогда, путь $s$, пройденный пассажиром будет равен $s=vt=(v_1+v_2)t$. Итак, мы имеем систему, состоящую из трех уравнений
$s=v_1t_1$,
$s=v_2t_2$,
$s=vt=(v_1+v_2)t$.
Эта система уравнений содержит четыре неизвестных и обычными методами (подстановкой или сложением) ее буде решить сложно. Сначала выясним во сколько раз отличаются скорости пассажира и эскалатора относительно земли. Приравняем правые части первых двух уравнений и составим отношение
$v_1t_1=v_2t_2 \Rightarrow \frac{v_1}{v_2}=\frac{t_2}{t_1}=\frac{3}{1}=3$.
То есть скорость эскалатора относительно земли в 3 раза больше скорости пассажира относительно земли $v_1=3v_2$. Воспользуемся этим. Приравняем правые части, например, первого и последнего уравнений и преобразуем полученное выражение
$v_1t_1=(v_1+v_2)t$,
$3v_2t_1=(3v_2+v_2)t$,
$3v_2t_1=4v_2t\Rightarrow t=\frac{3t_1}{4}$,
$t=\frac{3 \cdot 1}{4}=0,75$ мин $=45$ с.
Ответ: 45 с.