Задача. Эскалатор опускает стоящего на нем человека за 2 мин, а идущего по нему — за 1 мин. Сколько времени он будет опускать человека, идущего по нему со скоростью вдвое большей?
Решение. Очевидно, что в каждом случае, когда эскалатор опускает человека вниз, человек преодолевает одно и то же расстояние $s$. Когда эскалатор опускает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение времени $t_1=2$ мин, это расстояние можно найти по формуле $s=v_1t_1$, где $v_1$ — модуль скорости эскалатора относительно земли.
Рассмотрим теперь последний случай: пассажир идет вниз по движущемуся эскалатору.
Движущееся тело — человек.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с эскалатором.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_2$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_1$.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Поскольку векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ направлены в одну сторону, то модуль вектора $v=v_1+v_2$. Тогда, путь $s$, пройденный пассажиром будет равен $s=vt=(v_1+v_2)t_2$.
В случае, когда человек идет по эскалатору вниз со вдвое большей скоростью, рассуждения будут полностью аналогичны предыдущим и в результате приведут к уравнению $s=(v_1+2v_2)t_3$. Итак, мы имеем систему, состоящую из трех уравнений
$s=v_1t_1$,
$s=(v_1+v_2)t_2$,
$s=(v_1+2v_2)t_3$.
Поступим также как и в задаче К62. Приравняем правые части первых двух уравнений и найдем как соотносятся между собой скорости движения человека и эскалатора
$v_1t_1=(v_1+v_2)t_2$,
$2v_1=v_1+v_2$,
$v_1=v_2$.
Приравняем теперь правые части, например, первого и последнего уравнений и преобразуем полученное выражение
$v_1t_1=(v_1+2v_2)t_3$,
$v_1t_1=(v_1+2v_1)t_3$,
$v_1t_1=3v_1t_3\Rightarrow t_3=\frac{t_1}{3}$,
$t_3=\frac{2}{3}$ мин $=40$ с.
Ответ: 40 с.