Задача. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек. Второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?
Решение. Если бы скорость человека была направлена противоположно направлению движения эскалатора, то он насчитал бы тем меньше ступенек, чем быстрее шел. В нашем случае направления скоростей человека и эскалатора совпадают. Допустим человек идет вверх.
Движущееся тело — человек.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с эскалатором.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2$.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Поскольку векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ направлены в одну сторону, то модуль вектора $v=v_1+v_2$. Тогда, путь $s$, пройденный пассажиром, равный длине эскалатора, будет равен $s=(v_1+v_2)t_1$. Отсюда найдем время пребывания пассажира на эскалаторе
$t_1=\frac{s}{v_1+v_2}$.
Двигаясь со скоростью $v_1$ относительно эскалатора, он пройдет путь относительно него равный
$l_1=v_1t_1=\frac{sv_1}{v_1+v_2}$.
Если обозначить длину одной ступеньки $l$, то последнее выражение можно переписать в виде
$n_1l=\frac{sv_1}{v_1+v_2}$.
Во втором случае, когда человек идет по эскалатору вниз со скоростью втрое большей, рассуждения будут полностью аналогичны предыдущим и в результате приведут к уравнению
$n_2l=\frac{3sv_1}{3v_1+v_2}$.
И, наконец, если человек спускается по неподвижному эскалатору, то он проходит путь $s=nl$, где $n$ — количество ступенек на неподвижном эскалаторе. Подставим правую часть этого выражения в два последних уравнения
$n_1l=\frac{nlv_1}{v_1+v_2} \Rightarrow n_1=\frac{nv_1}{v_1+v_2}$,
$n_2l=\frac{3nlv_1}{3v_1+v_2} \Rightarrow n_2=\frac{3nv_1}{3v_1+v_2}$.
Найдем как соотносятся между собой скорости $v_1$ и $v_2$. Для этого разделим вначале первое уравнение на второе
$\frac{n_1}{n_2}=\frac{nv_1}{v_1+v_2}:\frac{3nv_1}{3v_1+v_2}=\frac{nv_1}{v_1+v_2} \cdot \frac{3v_1+v_2}{3nv_1}=\frac{3v_1+v_2}{3v_1+3v_2}$.
Получили пропорцию
$\frac{n_1}{n_2}=\frac{3v_1+v_2}{3v_1+3v_2}$.
Раскроем ее и выразим модуль скорости $v_2$ через $v_1$
$3n_1v_1+3n_1v_2=3n_2v_1+n_2v_2$,
$3n_1v_1-3n_2v_1=n_2v_2-3n_1v_2$,
$3v_1(n_1-n_2)=v_2(n_2-3n_1)$
$v_2=\frac{3(n_1-n_2)v_1}{n_2-3n_1}$,
$v_2=\frac{3 \cdot (50-75)v_1}{75-3 \cdot 50}=v_1$.
Возьмем теперь, например, первое уравнение системы, полученное ранее и перепишем его, с учетом полученного результата
$n_1=\frac{nv_1}{v_1+v_1}=\frac{nv_1}{2v_1}=\frac{n}{2}\Rightarrow n=2n_1$,
$n=2 \cdot 50=100$.
Ответ: 100 ступенек.