Задача. Скорость движения лодки относительно воды в $n$ раз больше скорости течения реки. Во сколько раз больше времени занимает поездка на лодке между двумя пунктами против течения, чем по течению? Решить задачу для значений $n=2$ и $n=11$.
Решение. Будем рассматривать движение лодки в неподвижной системе отсчета, связанной с берегом (землей).
Движущееся тело — лодка.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с водой (рекой).
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с берегом.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2$.
Согласно условию задачи $v_1=nv_2$. Пусть, для определенности, при движении лодка преодолевает по реке расстояние $s$ между двумя пунктами А и В, а затем возвращается обратно, т.е. также проходит путь $s$ обратно. Итак, при движении по течению реки.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Переходя к проекциям на координатную ось $x$, получим
$v_x=v_{1x}+v_{2x}=v_1+v_2=nv_2+v_2=(n+1)v_2$.
Пройденный путь за время движения $t_1$ от пункта А до пункта В $s=vt_1=(n+1)v_2t_1$.
При движении против течения реки.
Согласно закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}^\prime=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Переходя к проекциям на координатную ось $x$, получим
$v_x^\prime=v_{1x}+v_{2x}=-v_1+v_2=-nv_2+v_2=-(n-1)v_2$.
Пройденный путь за время движения $t_2$ от пункта В к пункту А $s_x^\prime=v_x^\prime t_2=-(n-1)v_2t_2$. Очевидно что $s_x^\prime<0$, $s_x^\prime=-s$, т.е. $-s=-(n-1)v_2t_2$ или $s=(n-1)v_2t_2$. Теперь можем приравнять правые части выражений для пройденного пути по и против течения и из полученного соотношения найти выражение для сравнения времени движения
$(n+1)v_2t_1=(n-1)v_2t_2\Rightarrow (n+1)t_1=(n-1)t_2$,
$\frac{t_2}{t_1}=\frac{n+1}{n-1}$.
При $n=2$
$\frac{t_2}{t_1}=\frac{2+1}{2-1}=3$,
т.е. время движения против течения в 3 раза больше, чем по течению.
При $n=11$
$\frac{t_2}{t_1}=\frac{11+1}{11-1}=1,2$,
т.е. время движения против течения в 1,2 раза больше, чем по течению.
Ответ: в 3 раза; в 1,2 раза.