Задача. Катер, идущий против течения реки, встречает плот, плывущий по реке. Через 20 мин после встречи катер причалил к берегу и простоял 1 ч. После этого он поплыл обратно и за 40 мин догнал плот на расстоянии 5 км от места их первой встречи. Определите скорость катера относительно воды, считая ее постоянной.
Решение. Будем рассматривать движение катера в неподвижной системе отсчета, связанной с берегом (землей). Скорость плота, относительно берега будет равна скорости течения реки $v_2$.
Движущееся тело — катер.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с водой (рекой).
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с берегом.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2$.
Согласно закону сложения скоростей, скорость катера при движении против течении реки в неподвижной СО К2 будет равна $u_1=v_2-v_1$, а при движении в обратном направлении по течению реки $u_2=v_2+v_1$. Подробнее почитать, почему так происходит можно здесь. С момента первой встречи катера с плотом до момента, когда катер вновь догонит плот, проходит время $t=20+60+40=120$ мин $=2$ ч. За это время плот прошел расстояние $s=5$ км. Поэтому его скорость относительно берега, а значит и скорость течения реки, равна $v= \frac{5}{2}=2,5$ км/ч.
Пути, проходимые катером против течения реки и обратно, пока не догонит плот
$s_1=u_1 t_1=(v_1-v_2) t_1$,
$s_2= u_2 t_2 = (v_1+v_2) t_2$,
где $t_1=20$ мин $=\frac{1}{3}$ ч, а $t_2=2t_1=40$ мин $=\frac{2}{3}$ ч. Разность расстояний, пройденных катером до повторной встречи будет равна тому расстоянию, на которое сместился плот от первоначальной встречи, т.е. $s_2-s_1=s$. Составим уравнение и решим его относительно неизвестной $v_1$
$(v_1+v_2) t_2-(v_1-v_2) t_1=s$,
$v_1t_2+v_2 t_2-v_1t_1+v_2 t_1=s$,
$v_1(t_2-t_1)+v_2 (t_1+t_2)=s$,
$v_1(t_2-t_1)=s-v_2 (t_1+t_2)$,
$v_1=\frac{s-v_2 (t_1+t_2)}{t_2-t_1}$,
$v_1=\frac{5-2,5 \cdot (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})}{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}=7,5$ км/ч.
Ответ: 7,5 км/ч.