Задача. Самолет летит из одного города в другой и без посадки возвращается обратно. Один раз он совершает такой рейс при ветре, который дует вдоль трассы, а другой — при ветре, дующем перпендикулярно трассе. В каком случае самолет совершает рейс быстрее и во сколько раз? Скорость ветра равна 30% скорости самолета.
Решение. Задачи такого типа аналогичны задачам на движение тел по реке. Будем рассматривать движение самолета в неподвижной системе отсчета, связанной с землей. Нам придется рассмотреть 4 ситуации:
1. Самолет летит из одного города в другой (обозначим их как пункты А и В), при этом ветер дует в ту же сторону, в которую движется самолет.
2. Самолет летит обратно из пункта В в пункт А и его скорость направлена против скорости ветра.
3. Самолет летит из пункта А в пункт В при боковом ветре.
4. Самолет возвращается обратно из пункта В в пункт А при том же самом боковом ветре.
Движущееся тело — самолет.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с воздухом.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1=u$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2=0,3u$.
Модули скоростей во всех четырех, описанных выше, ситуациях будут одинаковыми, а вот направления — разными. Кроме того, пути проходимые самолетом в каждом случае будут одинаковыми и равными $s$. Согласно закону сложения скоростей, скорость самолета в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$. Найдем скорость самолета относительно земли в каждом случае, а также найдем выражения для времени движения.
1. Самолет летит из пункта А в пункт В, при этом ветер дует в ту же сторону, в которую движется самолет.
Переходя к проекциям на координатную ось $x$, получим
$v_x=v_{1x}+v_{2x}=v_1+v_2=u+0,3u=1,3u$.
Время движения от пункта А до пункта В
$t_1=\frac{s_x}{v_x}=\frac{s}{1,3u}$.
2. Самолет летит против ветра из пункта В в пункт А.
Переходя к проекциям на координатную ось $x$, получим
$v_x=v_{1x}+v_{2x}=v_1-v_2=u-0,3u=0,7u$.
Время движения от пункта А до пункта В
$t_2=\frac{s_x}{v_x}=\frac{s}{0,7u}$.
3. Самолет летит из пункта А в пункт В при боковом ветре, направленном перпендикулярно направлению скорости $\vec{v}$ самолета относительно земли. Заметим, что для того чтобы самолет летел по прямой АВ, он должен направлять свою скорость относительно воздуха под некоторым углам к этой прямой (см. рисунок).
По теореме Пифагора
$v=\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{u^2-(0,3u)^2}=\sqrt{u^2-0,09u^2}=\sqrt{0,91u^2}=u\sqrt{0,91}$.
Время движения от пункта А до пункта В
$t_3=\frac{s}{v}=\frac{s}{u\sqrt{0,91}}$.
4. Самолет летит из пункта В в пункт А при боковом ветре, направленном перпендикулярно направлению скорости $\vec{v}$ самолета относительно земли.
Нетрудно заметить, что при таком расположении векторов скорость вновь $v=u\sqrt{0,91}$, а значит время движения от пункта А до пункта В
$t_4=\frac{s}{v}=\frac{s}{u\sqrt{0,91}}$.
Общее время движения самолета из одного города в другой и обратно, в случае, если ветер дует вдоль трассы
$t_{12}=t_1+t_2=\frac{s}{1,3u}+\frac{s}{0,7u}=\frac{0,7s+1,3s}{1,3 \cdot 0,7 u}=\frac{2s}{0,91u}$.
Общее время движения самолета из одного города в другой и обратно, в случае, если ветер перпендикулярно трассе
$t_{34}=t_3+t_4=\frac{s}{u\sqrt{0,91}}+\frac{s}{u\sqrt{0,91}}=\frac{2s}{u\sqrt{0,91}}$.
Сравним время движения
$\frac{t_{12}}{t_{34}}=\frac{2s}{0,91u}:\frac{2s}{u\sqrt{0,91}}=\frac{2s}{0,91u} \cdot \frac{u\sqrt{0,91}}{2s}=\frac{\sqrt{0,91}}{0,91}\approx 1,05$.
Ответ: при боковом ветре время движения меньше в 1,05 раза.