Задача. С какой скоростью и под каким углом $\beta$ к меридиану должен лететь самолет, чтобы за время $t=2$ ч пролететь точно на север 300 км, если во время полета дует юго-восточный ветер под углом $\alpha =30^{\circ}$ к меридиану со скоростью $v=36$ км/ч?
Решение. Будем рассматривать движение самолета в неподвижной системе отсчета, связанной с землей.
Движущееся тело — самолет.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с воздухом.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1$.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v=36$ км/ч.
Согласно закону сложения скоростей, скорость самолета в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}_2=\vec{v}_1+\vec{v}$. Скорость самолета относительно поверхности земли можно найти, зная пройденный самолетом путь относительно земли и время его движения
$v_2=\frac{s}{t}$, $v_2=\frac{300}{2}=150$ км/ч.
Выполним чертеж, на котором покажем направление скоростей.
Переходя к проекциям на координатные оси, получим
$v_{2x}=v_{1x}+v_{x}=v_1 sin \beta -v sin \alpha =0$,
$v_{2y}=v_{1y}+v_{y}=v_1 cos \beta + v cos \alpha =v_2$.
Найдем угол $\beta$, для этого преобразуем уравнения системы
$v_1 sin \beta =v sin \alpha$,
$v_1 cos \beta =v_2-v cos \alpha$.
Разделим первое уравнение системы на второе
$\frac{v_1 sin \beta}{v_1 cos \beta}=\frac{v sin \alpha}{v_2-v cos \alpha}$,
$tg \beta=\frac{v sin \alpha}{v_2-v cos \alpha}$,
$tg \beta=\frac{36 \cdot 0,5}{150-36 \cdot 0,5\sqrt{3}}\approx 0,1515$.
Отсюда следует, что $\beta \approx 9^{\circ}$. Теперь из первого уравнения системы найдем скорость самолета
$v_1 sin \beta =v sin \alpha\Rightarrow v_1=\frac{v sin \alpha}{sin \beta}$,
$v_1=\frac{36 \cdot 0,5}{0,1515} \approx 118,8$ км/ч.
Ответ: $\beta \approx 9^{\circ}$, скорость самолета $\approx 118,8$ км/ч.