Задача. В безветренную погоду вертолет двигался со скоростью 90 км/ч точно на север. Найти скорость и курс вертолета, если подул северо-западный ветер под углом 45° к меридиану. Скорость ветра 10 м/с.
Решение. Будем рассматривать движение вертолета в неподвижной системе отсчета, связанной с землей.
Движущееся тело — вертолет.
Движущая система отсчета (К1) — система отсчета, связанная с воздухом.
Скорость тела относительно СО К1 — $v_1=25$ м/с.
Неподвижная система отсчета (К2) — система отсчета, связанная с землей.
Скорость движущейся СО К1 относительно неподвижной СО К2 — $v_2=10$ м/с.
Согласно закону сложения скоростей, скорость вертолета в неподвижной СО К2 будет равна $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$ (см. рисунок).
Переходя к проекциям на координатные оси, получим
$v_x=v_{1x}+v_{2x}=v_2 sin \alpha$,
$v_y=v_{1y}+v_{2y}=v_1-v_2 cos \alpha$.
Найдем модуль скорости $v$ через проекции
$v=\sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}$,
$v=\sqrt{(v_2 sin \alpha)^2+(v_1-v_2 cos \alpha)^2}$,
$v=\sqrt{\left( 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( 25-10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}\approx 19,27$ м/с.
Определим курс движения самолета, т.е. под каким углом к направлению на север будет двигаться вертолет. Угол наклона вектора к координатной оси можно найти через тангенс угла наклона
$tg \beta =\frac{v_x}{v_y}=\frac{v_2 sin \alpha}{v_1-v_2 cos \alpha}$,
$tg \beta =\frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} }{25-10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx 0,37$,
$\beta \approx 21^{\circ}$.
Ответ: $\approx 32,84$ м/с под углом $\beta \approx 21^{\circ}$ к направлению на север.