Задача. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью $v_1=10$ м/с, а вторую половину пути со скоростью $v_2=15$ м/с. Найти среднюю скорость на всем пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений $v_1$ и $v_2$.
Решение. Мы рассматриваем два участка движения, причем $s_1=s_2=s$. Запишем формулу нахождения средней скорости
$v_{cp}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$,
Преобразуем эту формулу. Запишем формулы для нахождения времени движения на первом и втором участках и подставим их в формулу записанную выше
$t_1=\frac{s_1}{v_1}$,
$t_2=\frac{s_2}{v_2}$.
Подставляем полученные выражения в формулу нахождения средней скорости и преобразовываем ее с учетом равенства $s_1=s_2=s$
$v_{cp}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}=\frac{s+s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{s\left( \frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2} \right)}=\frac{2}{ \frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2} }=$
$=\frac{2}{ \frac{1}{v_1}^{\cdot v_2}+\frac{1}{v_2}^{\cdot v_1} }=\frac{2}{ \frac{v_2+v_1}{v_1v_2}}=2:\frac{v_2+v_1}{v_1v_2}=\frac{2v_1v_2}{v_2+v_1}$.
Находим среднюю скорость
$v_{cp}=\frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{10+15}=12$ м/с.
Сравним полученную среднюю скорость со средним арифметическим скоростей. Для этого найдем знак («+» или «-«) разности между средней скоростью и средним арифметическим скоростей
$\frac{2v_1v_2}{v_2+v_1}-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{4v_1v_2-(v_1+v_2)^2}{2(v_1+v_2)}=$
$=\frac{4v_1v_2-v_1^2-2v_1v_2-v_2^2}{2(v_1+v_2)}=\frac{-v_1^2+2v_1v_2-v_2^2}{2(v_1+v_2)}=$
$=-\frac{v_1^2-2v_1v_2+v_2^2}{2(v_1+v_2)}=-\frac{(v_1-v_2)^2}{v_1+v_2}<0$.
Последнее неравенство очевидно, т.к. $(v_1-v_2)^2>0$ и $v_1+v_2>0$, но перед дробью стоит знак минус, поэтому вся дробь будет ВСЕГДА при любых значениях скоростей отрицательна. То что разность средней скорости и среднего арифметического скоростей получилась отрицательной, говорит о том, что среднее арифметическое скоростей больше, чем средняя скорость движения.
Ответ: 12 м/с.