Задача. Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч. Половину оставшегося времени движения он ехал со скоростью 15 км/ч, а последний участок пути — со скоростью 45 км/ч. Чему равна средняя скорость автомобиля на всем пути?
Решение. «Половину оставшегося времени…» — означает, что время движения на втором и третьем участках движения одинаковы. Воспользуемся этим, чтобы сравнить между собой пройденные пути на этих участках и затем сравнить их с общим пройденным расстоянием
$t_2=t_3 \Rightarrow \frac{s_2}{v_2}=\frac{s_3}{v_3}$,
$s_2v_3=s_3v_2$,
$s_2 \cdot 45=s_3 \cdot 15$,
$s_3 =3s_2$.
«Автомобиль проехал половину пути…» — означает, что оставшиеся два участка пути в сумме составляют также половину от всего пути, т.е.
$s_2+s_3=\frac{s}{2}$,
$s_2+3s_2=\frac{s}{2} \Rightarrow s_2=\frac{s}{8}$,
$s_3=\frac{3s}{8}$.
Запишем формулу нахождения средней скорости
$v_{cp}=\frac{s_1+s_2+s_3}{t_1+t_2+t_2}=\frac{s}{t_1+t_2+t_2}$,
Преобразовываем формулу нахождения средней скорости
$v_{cp}=\frac{s}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\frac{s_3}{v_3}}=\frac{s}{\frac{s}{2v_1}+\frac{s}{8v_2}+\frac{3s}{8v_3}}=$
$=\frac{1}{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{8v_2}+\frac{3}{8v_3}}=1:\left( \frac{1 }{2v_1} ^{ \backslash \cdot 4v_2v_3}+\frac{1}{8v_2} ^{ \backslash \cdot v_1v_3}+\frac{3}{8v_3} ^{ \backslash \cdot v_1v_2} \right)=$
$=1: \frac{4v_2v_3 + v_1v_3 + 3v_1v_2}{8v_1v_2v_3} =\frac{8v_1v_2v_3}{4v_2v_3 + v_1v_3 + 3v_1v_2}$.
Находим среднюю скорость
$v_{cp}=\frac{8 \cdot 60 \cdot 15 \cdot 45}{4 \cdot 15 \cdot 45 + 60 \cdot 45 + 3 \cdot 60 \cdot 15} =40$ км/ч.
Ответ: 40 км/ч.