Задача. Автомобиль первую половину времени ехал со скоростью 80 км/ч, оставшееся время двигался со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на второй половине его пути.
Решение. Обозначим за $t$ — время движения на каждом из участков. Тогда общий пройденный путь будет равен
$s=s_1+s_2=v_1t+v_2t=(v_1+v_2)t$.
Половина из пройденного пути
$s_0=\frac{s}{2}=\frac{(v_1+v_2)t}{2}$.
Половина пути включает в себя два участка: $s^{\prime}$ — часть от пути, пройденного телом на первом участке за время $t$ и полностью второй участок пути $s_2$. Выразим длину участка $s^{\prime}$
$s^{\prime}=\frac{s}{2}-s_2=\frac{v_1t+v_2t}{2}-v_2t=\frac{v_1t-v_2t}{2}=\frac{(v_1-v_2)t}{2}$.
Найдем время движения на второй половине пути
$t^{\prime}=\frac{s^{\prime}}{v_1}+t=\frac{(v_1-v_2)t}{2v_1}+t=\frac{v_1t-v_2t+2v_1t}{2v_1}=\frac{3v_1t-v_2t}{2v_1}=\frac{(3v_1-v_2)t}{2v_1}$.
Находим среднюю скорость на второй половине пути
$v_{cp}=\frac{s_0}{t^{\prime}}=\frac{(v_1+v_2)t}{2}:\frac{(3v_1-v_2)t}{2v_1}=\frac{(v_1+v_2)t}{2} \cdot \frac{2v_1}{(3v_1-v_2)t}=\frac{(v_1+v_2)v_1}{3v_1-v_2}$,
$v_{cp}=\frac{(80+40) \cdot 80}{3 \cdot 80-40}=48$ км/ч.
Ответ: 48 км/ч.