Задача. На рисунке изображён график зависимости от времени координаты тела, движущегося вдоль оси $x$.
а) В какой момент времени скорость автомобиля была такой же, как в момент $t = 2$ с?
б) В какой момент времени скорость тела была максимальной?
в) В какой момент (какие моменты) времени скорость тела минимальна? Чему она при этом равна?
г) Чему равна средняя путевая скорость и средняя скорость перемещения за первые 12 с движения?
Решение. а) Скорость тела можно найти через тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты относительно горизонтальной оси. Если в какие то моменты времени скорость тела одинакова, то касательные к графику должны быть параллельны. На рисунке показан такой случай. Видно, что заданное условие выполняется в момент времени $t=5$ с.
б) Чем больше угол наклона касательной к горизонтальной оси, тем больше скорость тела, т.е. нужно построить касательную к графику с самым большим углом наклона к оси времени. На рисунке показан этот случай. Получается скорость тела была максимальной в момент времени $t=4$ с.
в) Минимальная скорость соответствует случаю, когда тело покоится, т.е. его скорость равна нулю. В этом случае угол наклона графика тоже должен быть равен нулю, т.к. $tg \alpha =0$, если $\alpha =0^{\circ}$. В этом случае касательная должна быть параллельна оси времени. На рисунке показана эта ситуация. То есть скорость тела была минимальной в моменты времени $t=0$ и $t=8$с.
г) Координата тела в начальный момент времени $t=0$ с равна нулю, $x_0=0$ м. Координата тела в момент времени $t=12$ с $x=45$ м. Перемещение тела равно $s_x=x-x_0$, $s_x=45-0=45$ м. Находим среднюю скорость перемещения за 12 с движения.
$v_{cpx}=\frac{s_x}{t}$.
$v_{cpx}=\frac{45}{12} =3,75$ м/с.
При движении тело меняет направление движения. Это означает, что путь за все время движения не равен перемещению. Тело поменяло направление движения в момент времени $t=8$ с, т.к. до этого момента времени координата увеличилась, а затем уменьшается. До этого момента времени, судя по графику, тело проходит путь 60 м, а затем возвращаясь обратно, путь 15 м. Таким образом, общий пройденный путь будет составлять $l=60+15=75$ м. Находим среднюю путевую скорость
$\bar{v}=\frac{l}{t}$, $\bar{v}=\frac{75}{12}=6,25$ м.
Ответ: а) 5 с; б) 4 с; в) 0 с и 8 с, 0 м/с; г) 3,75 м/с и 6,25 м/с.