Задача. Первую четверть пути поезд прошел со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 40 км/ч. С какой скоростью поезд двигался на оставшейся части пути?
Решение. Мы рассматриваем два участка движения. Пусть $s_1=s$, тогда $s_2=3s$. Запишем формулу нахождения средней скорости
$v_{cp}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$.
Запишем формулы для нахождения времени движения на первом и втором участках и подставим их в формулу записанную выше
$t_1=\frac{s_1}{v_1}=\frac{s}{v_1}$,
$t_2=\frac{s_2}{v_2}=\frac{3s}{v_2}$.
Подставляем полученные выражения в формулу нахождения средней скорости и преобразовываем ее
$v_{cp}=\frac{s+3s}{\frac{s}{v_1}+\frac{3s}{v_2}}=\frac{4s}{s \cdot \left( \frac{1}{v_1}+\frac{3}{v_2} \right)}=\frac{4}{ \frac{1}{v_1}+\frac{3}{v_2}}=$
$=4:\frac{v_2+3v_1}{v_1v_2}=\frac{4v_1v_2}{v_2+3v_1}$.
Для нахождения скорости $v_2$ поступим также как в задаче К55
$v_{cp}(v_2+3v_1)=4v_1v_2$,
$v_{cp}v_2+3v_{cp}v_1=4v_1v_2$,
$3v_{cp}v_1=4v_1v_2-v_{cp}v_2$,
$3v_{cp}v_1=(4v_1-v_{cp})v_2$,
$v_2=\frac{3v_{cp}v_1}{4v_1-v_{cp}}$,
$v_2=\frac{3 \cdot 40 \cdot 60}{4 \cdot 60-40}=36$ км/ч.
Ответ: 36 км/ч.