Задача. Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?
Решение. Мы рассматриваем два участка движения, причем $s_1=s_2=s$. Запишем формулу нахождения средней скорости
$v_{cp}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$,
Преобразуем эту формулу. Запишем формулы для нахождения времени движения на первом и втором участках, с учетом того что $v_1=2v_2$, и подставим их в формулу записанную выше
$t_1=\frac{s_1}{v_1}=\frac{s}{2v_2}$,
$t_2=\frac{s_2}{v_2}=\frac{s}{v_2}$.
Подставляем полученные выражения в формулу нахождения средней скорости и преобразовываем ее
$v_{cp}=\frac{s+s}{\frac{s}{2v_2}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{3s}{2v_2}}=2s:\frac{3s}{2v_2}=2s \cdot \frac{2v_2}{3s}=\frac{4v_2}{3}$,
$v_2=\frac{3v_{cp}}{4}$,
$v_2=\frac{3 \cdot 4}{4}=3$ км/ч.
Тогда скорость на первом участке $v_1=6$ км/ч.
Ответ: 6 км/ч и 3 км/ч.