Задача. С башни высотой 25 м брошен камень со скоростью 15 м/с вверх под углом 30° к горизонту. Найти: а) сколько времени камень будет находиться в полёте? б) на каком расстоянии от основания башни камень упадёт на землю? в) с какой скоростью камень упадёт на землю?
Краткая запись условия: $\alpha =30^{\circ}$; $h=25$ м; $v_0=15$ м/с.
Решение. Начало координат разместим таким образом, чтобы в момент броска, горизонтальная координата равнялась нулю, а вертикальная — высоте, с которой был произведен бросок. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координат $x(t)$ и $y(t)$ от времени
$x=x_{0}+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,
$x=v_0 cos \alpha t$;
$y=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y=h+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
а) В момент падения тела на поверхность земли, его вертикальная координата равна нулю $y=0$. Чтобы узнать через какой промежуток времени мяч упадет на землю, приравняем уравнение координаты $y$ к нулю и решим это квадратное уравнение относительно неизвестной $t$
$h+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$2h+2v_0 sin \alpha t- g t^2=0$,
$C=2h,\: B=2v_0 sin \alpha,\: A=- g$,
$D=B^2-4AC=4v_0^2sin^2\alpha -4 \cdot (-g) \cdot 2h=$
$=4(v_0^2sin^2\alpha +2gh)$.
Нас интересует только положительный корень, поэтому время падения будет равно
$t=\frac{-B-\sqrt{D}}{2A}=\frac{-2v_0 sin \alpha-\sqrt{4(v_0^2sin^2\alpha +2gh)}}{2 \cdot (-g)}=\frac{v_0 sin \alpha+\sqrt{v_0^2sin^2\alpha +2gh}}{g}$,
$t=\frac{15 \cdot 0,5+\sqrt{15^2 \cdot 0,5^2 +2 \cdot 10 \cdot 25}}{10}\approx 3,1$ с.
б) Дальность полета — горизонтальная координата в момент падения на землю
$L=x=15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3,1\approx 40,27$ м.
в) Модуль скорости тела можно найти через ее проекции на координатные оси
$v_x=v_{0x}+g_xt=v_0\, cos\, \alpha$,
$v_y=v_{0y}+g_yt=v_0\, sin\, \alpha-gt$.
Модуль скорости тела можно найти по формуле
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$,
$v=\sqrt{(v_0\, cos\, \alpha)^2+(v_0\, sin\, \alpha-gt)^2}$,
$v=\sqrt{\left( 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left( 15 \cdot \frac{1}{2}-10 \cdot 3,1\right)^2} \approx 26,85$ м/с.
Ответ: а) $\approx 3,1$ с; б) $\approx 40,27$ м; в) $\approx 26,85$ м/с.