Задача. Лучник находится на крепостной стене. Стрела, выпущенная из лука со скоростью $v_0=40$ м/с под некоторым углом к горизонту, побывала дважды на высоте $ℎ = 30$ м над землей в моменты времени $t_1 = 1$ с и $v_2 = 3$ с после выстрела. Найдите время полета стрелы до падения на землю.
Краткая запись условия: $v_0=40$ м/с; $t_1 = 1$ с; $v_2 = 3$ с.
Решение. Начало координат разместим таким образом, чтобы в момент броска, горизонтальная координата равнялась нулю, а вертикальная — высоте, с которой был произведен бросок. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координат от времени
$x=x_{0}+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,
$x=v_0 cos \alpha t$;
$y=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y=h_0+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
Высота, на которой находится тело — его вертикальная координата, поэтому справедливы следующие выражения
$h=h_0+v_0 sin \alpha t_1- \frac{g t_1^2}{2}$,
$h=h_0+v_0 sin \alpha t_2- \frac{g t_2^2}{2}$.
Вычтем из первого уравнения второе и найдем из получившегося уравнения синус угла, под которым был совершен бросок
$v_0 sin \alpha t_2- \frac{g t_2^2}{2}-v_0 sin \alpha t_1+\frac{g t_1^2}{2}=0$,
$v_0 sin \alpha t_2- v_0 sin \alpha t_1=\frac{g t_2^2}{2}-\frac{g t_1^2}{2}$,
$v_0 sin \, \alpha( t_2- t_1)=\frac{g( t_2^2-t_1^2)}{2}$,
$v_0 sin \, \alpha( t_2- t_1)=\frac{g( t_2-t_1)( t_2+ t_1)}{2}$,
$sin \, \alpha=\frac{g( t_2+ t_1)}{2v_0}$,
$sin \, \alpha=\frac{10 \cdot ( 1+3)}{2 \cdot 40}=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =30^{\circ}$.
Найдем теперь начальную высоту, с которой была пущена стрела
$h_0=h-v_0 sin \alpha t_1+ \frac{g t_1^2}{2}$,
$h_0=30-40 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1+ \frac{10 \cdot 1^2}{2} =15$ м.
В момент падения стрелы на поверхность земли, ее вертикальная координата равна нулю $y=0$. Чтобы узнать через какой промежуток времени стрела упадет на землю, приравняем уравнение координаты $y$ к нулю и решим полученное квадратное уравнение относительно неизвестной $t$
$h_0+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$2h_0+2v_0 sin \alpha t- g t^2=0$,
$C=2h_0,\: B=2v_0 sin \alpha,\: A=- g$,
$D=B^2-4AC=4v_0^2sin^2\alpha -4 \cdot (-g) \cdot 2h_0=$
$=4(v_0^2sin^2\alpha +2gh_0)$.
Нас интересует только положительный корень, поэтому время падения будет равно
$t=\frac{-B-\sqrt{D}}{2A}=\frac{-2v_0 sin \alpha-\sqrt{4(v_0^2sin^2\alpha +2gh_0)}}{2 \cdot (-g)}=\frac{v_0 sin \alpha+\sqrt{v_0^2sin^2\alpha +2gh_0}}{g}$,
$t=\frac{40 \cdot 0,5+\sqrt{40^2 \cdot 0,5^2 +2 \cdot 10 \cdot 15}}{10}\approx 4,65$ с.
Дальность полета — горизонтальная координата в момент падения на землю
$L=x=40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4,65 \approx 161$ м.
Ответ: $\approx 161$ м.