Задача. С колеса автомобиля, движущегося со скоростью $v= 108$ км/ч, слетают комки грязи. На какую максимальную высоту над поверхностью дороги будет подбрасываться грязь, оторвавшаяся от точки A колеса, указанной на рисунке? Радиус колеса $R= 60$ см, угол $\alpha =30^{\circ}$. Колеса на поверхности дороги не пробуксовывают.
Краткая запись условия: $v=30$ м/с; $R=0,6$ м; $\alpha =30^{\circ}$.
Решение. Выполним некоторые построения на движущемся колесе, чтобы понять под каким углом к горизонту слетают куски грязи и на какой высоте от поверхности земли это происходит. При построении помним, что скорость при криволинейном движении направлена по касательной к траектории движения.
Скорость вращательного движения точки колеса будет равна скорости ее поступательного движения относительно поверхности оси, т.е. комки грязи отлетают от колеса со скоростью $v_0=v=30$ м/с. Из рисунке видно, угол наклона начальной скорости к горизонту равен $\alpha =30^{\circ}$. Начальная высота $h=l+R$, где $l$ можно выразить через косинус угол $\alpha$ прямоугольного треугольника с гипотенузой равной радиусу $R$ колеса
$l=R\, cos \, \alpha$,
$h=R\, cos \, \alpha +R=R(1+cos \, \alpha)$.
Теперь рассмотрим движение комка грязи, после того как он отделился от колеса. Начало координат разместим таким образом, чтобы в момент броска, горизонтальная координата равнялась нулю, а вертикальная — высоте, с которой был произведен бросок. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координаты $y$ от времени
$y=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y=h+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$,
$y=R(1+cos \, \alpha)+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
В наивысшей точке подъема скорость тела будет направлена горизонтально (опять же вдоль касательной к траектории), поэтому ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю, отсюда найдем время подъема
$v_{1y}=v_{0y}+g_yt=v_0\, sin \, \alpha -gt$,
$v_0\, sin \, \alpha -gt=0$,
$t=\frac{v_0\, sin \, \alpha}{g}$,
$t=\frac{30 \cdot 0,5}{10} =1,5$ с.
Находим наибольшую высоту подъема
$H=y=0,6 \cdot(1+0,5\sqrt{3})+30 \cdot 0,5 \cdot 1,5 — \frac{10 \cdot 1,5^2}{2}\approx 12,37$ м.
Ответ: $\approx 12,37$ м.