Задача. С вершины горы под углом наклона $\alpha =30^{\circ}$ бросают камень с начальной скоростью 6 м/с перпендикулярно склону горы. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
Краткая запись условия: $v_0=6$ м/с; $\alpha =30^{\circ}$.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке
Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 sin \alpha t$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=-v_0 cos \alpha t+ \frac{g t^2}{2}$.
Видно, что для координат точки падения выполняется условие
$\frac{y}{x}=tg\alpha $,
$tg\alpha =\frac{-v_0 cos \alpha t+ \frac{g t^2}{2}}{v_0 sin \alpha t}=-ctg \alpha+\frac{g t}{2v_0 sin \alpha }$,
$tg\alpha +ctg\alpha =\frac{g t}{2v_0 sin \alpha}$,
$t=\frac{2v_0 sin \alpha}{g}(tg\alpha +ctg\alpha)=\frac{2v_0 sin \alpha}{g} \cdot \frac{1}{cos\alpha sin\alpha}=\frac{2v_0}{g cos \alpha}$,
$t=\frac{2 \cdot 6}{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{5\sqrt{3}}$.
Найдем координаты
$x=6\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{12}{5\sqrt{3}}=\frac{36}{5\sqrt{3}}$ м,
$y=-6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{12}{5\sqrt{3}}+\frac{10}{2}\cdot \left ( \frac{12}{5\sqrt{3}} \right )^2=2,4$ м.
Теперь найдем искомое расстояние, оно будет равно перемещению тела за найденный промежуток времени, т.е.
$s=\sqrt{x^2+y^2}$
$s=\sqrt{\left(\frac{36}{5\sqrt{3}} \right)^2+2,4^2}=4,8$ м.
Ответ: 4,8 м.