Задача. Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается от неё. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. На какое расстояние по горизонтали перемещается шарик между первым и вторым ударами о плоскость? Скорость шарика непосредственно перед первым ударом направлена вертикально вниз и равна 1 м/с.
Краткая запись условия: $v=1$ м/с; $\alpha =30^{\circ}$.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке
Удар упругий — это означает, во-первых, что модуль скорости шарика после удара будет равна модулю скорости шарика после удара. Во-вторых, угол падения шарика на плоскость будет равен углу «отражения» относительно перпендикуляра, проведенного в точку падения к наклонной плоскости. Нетрудно заметить, что этот угол будет равен $\alpha$. Обратим также внимание читателя на то, что угол $\alpha$ откладывается от оси $y$ (в том числе и для вектора ускорения), поэтому проекции начальной скорости и ускорения на эту ось будут с косинусом, а на ось $x$ с синусом Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 sin \,\alpha \, t + \frac{g sin \, \alpha \, t^2}{2}$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}$.
Видно, что для координат точки падения выполняется условие
$v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}=0$,
$v_0 — \frac{g t}{2}=0$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}$,
$t= \frac{ 2 \cdot 1 }{10}=0,2$ с.
Теперь найдем искомое расстояние. Исходя из геометрических соображений, оно будет равно $L=x cos \, \alpha$, где $x$ — координата в найденный промежуток времени
$x=1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,2+\frac{10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,2^2}{2}=0,2$ м,
$L=0,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,17$ м.
Ответ: $\approx 0,17$ м.