Задача. С балкона, с высоты $H_0 = 7$ м упал камешек и на высоте $ℎ_0 = 5$ м ударился о козырек подъезда, расположенный под углом 30° к горизонту. Считая удар абсолютно упругим, определите, упадет ли камешек на крышу микроавтобуса высотой $L= 2$ м, припаркованного у подъезда, как показано на рисунке ($s_1 = 4$ м; $s_2 = 7$ м).
Решение. Рассмотрим отдельно свободное падение камешка и его движение после удара. Координатную ось направим вниз в направлении движения тела.
Запишем уравнение перемещения в проекциях на координатную ось, чтобы найти конечную скорость
$s_{x}=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}$.
Находим проекции векторов на координатные оси
$s=\frac{v^2}{2g}$.
Находим скорость, которую будет иметь шарик перед ударом о плоскость, учитывая, что перемещение шарика до наклонной плоскости $s=H_0-h_0$
$v^2=2gs=2g(H_0-h_0)$,
$v=\sqrt{2g(H_0-h_0)}$.
Теперь рассматриваем движение камешка после удара и найдем дальность его полета, чтобы узнать попадет ли он на крышу микроавтобуса. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке
Удар упругий — это означает, во-первых, что модуль скорости шарика после удара будет равна модулю скорости шарика после удара. Во-вторых, угол падения шарика на плоскость будет равен углу «отражения» относительно перпендикуляра, проведенного в точку падения к наклонной плоскости. Нетрудно заметить, что этот угол будет равен $\alpha$. Обратим также внимание читателя на то, что угол $\alpha$ откладывается от оси $y$ (в том числе и для вектора ускорения), поэтому проекции начальной скорости и ускорения на эту ось будут с косинусом, а на ось $x$ с синусом Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 sin \,\alpha \, t + \frac{g sin \, \alpha \, t^2}{2}$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}$.
Видно, что для координат точки падения выполняется условие
$v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}=0$,
$v_0 — \frac{g t}{2}=0$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}= \frac{ 2\sqrt{2g(H_0-h_0)} }{g}= 2\sqrt{ \frac{2(H_0-h_0)} {g}}$.
Исходя из геометрических соображений, можно заключить, что дальность полета связана с координатой соотношением $L=x cos \, \alpha$, где $x$ — координата в найденный промежуток времени
$x=\sqrt{2g(H_0-h_0)} \cdot sin \,\alpha \cdot 2\sqrt{ \frac{2(H_0-h_0)} {g}} + \frac{g sin \, \alpha \,\left( 2\sqrt{ \frac{2(H_0-h_0)} {g}} \right)^2}{2}=$
$=4(H_0-h_0) sin \,\alpha+4(H_0-h_0) sin \,\alpha=8(H_0-h_0) sin \,\alpha$,
$L=8(H_0-h_0) sin \,\alpha cos \, \alpha=4(H_0-h_0) sin\, 2 \alpha$,
$L=4 \cdot (7-5) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6,93$ м.
Так как $s_1<L<s_2$, то получается, что камешек упадет на крышу микроавтобуса.
Ответ: камешек упадет на крышу микроавтобуса.