Задача. В длинном и широком спортивном зале с высотой потолка $H= 10$ м баскетболист бросает мяч товарищу по команде с начальной скоростью $v_0= 20$ м/с. Какова может быть максимальная дальность его передачи по горизонтали? Сопротивлением воздуха и размерами мяча можно пренебречь, бросок делается и принимается руками на уровне $ℎ = 2$ м от горизонтального пола.
Краткая запись условия: $t=12$ с.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке
Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=v_0 cos \alpha t$,
$y=v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
При броске возможны две ситуации. Первая — наибольшая дальность полета достигается при наибольшей высоте подъема меньшей, чем $H-h=8$ м. Вторая — мяч необходимо бросить так, чтобы наибольшая дальность полета достигалась при наибольшей высоте подъема равной $H-h=8$ м. Найдем дальность полета тела при броске с начальной скоростью $v_0= 20$ м/с под произвольным углом. В момент падения координата y она будет равна нулю, поэтому можно взять уравнение координаты y, приравнять его к нулю и найти время полета. После этого останется найти дальность полета как координату координату x в найденный момент времени
$v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$v_0 sin \alpha — \frac{g t}{2}=0$,
$v_0 sin \alpha = \frac{g t}{2}$,
$t=\frac{2v_0 sin \alpha}{g}$,
$s=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}=\frac{v_0^2 sin 2\alpha }{g}$,
При заданной скорости $v_0$ дальность полета будет наибольшей, когда синус достигнет своего наибольшего значения, т.е. когда $sin 2\alpha =1$ (это условие выполнится, если $\alpha =45^{\circ}$). В верхней точке траектории проекция скорости на вертикальную ось будет равна нулю, используя это условие, можно найти время подъема
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$,
$t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$.
Наивысшая высота подъема — равна вертикальной координате в этот момент времени, поэтому
$H=y=v_0 sin \alpha \cdot \frac{v_0 sin \alpha }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_0 sin \alpha }{g} \right )^2}{2}=$
$=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{g}-\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}$,
$H_{max}=\frac{20^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}{2 \cdot 10}=10$ м.
Видно, что $H_{max}>H-h$, поэтому данный вариант нас не устраивает. Тогда задача сводится к поиску дальности полете тела при наивысшей высоте подъема $H-h=8$ м. Поскольку нам неизвестен угол, под которым необходимо произвести бросок, то будем избавляться от него
$2g(H-h)=v_0^2 sin^2\alpha$,
$sin^2\alpha =\frac{2g(H-h)}{v_0^2 }$,
$sin\, \alpha =\frac{\sqrt{2g(H-h)}}{v_0 }$,
$sin\, \alpha =\frac{\sqrt{2 \cdot 10 \cdot (10-2)}}{20 }=\frac{4\sqrt{10}}{20}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
Запишем формулу дальности полета в следующем виде
$L=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$.
Косинус угла $\alpha$ найдем из основного тригонометрического тождества
$cos \, \alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha }=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{10}}{5} \right)^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Теперь находим дальность полета
$L=\frac{2 \cdot 20^2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}}}{10}\approx 39,2$ м.
Ответ: $L\approx 39,2$ м.