Задача. Человек ростом 1,6 м, стоя на земле, кидает мяч из-за головы и хочет перебросить его через забор высотой 4,8 м, находящийся на расстоянии 6,4 м от него. Определите модуль скорости, с которой необходимо бросить мяч, чтобы он перелетел через забор, коснувшись его в верхней точке своей траектории? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Краткая запись условия: $h=1,6$ м; $h_1=4,8$ м; $l=6,4$м.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке. Начало координат поместим в ту точку, из которой был произведен бросок.
Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=v_{0x} t$,
$y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$.
В верхней точке траектории проекция скорости на вертикальную ось будет равна нулю, используя это условие, можно найти время подъема
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_{0y} — gt=0$,
$t=\frac{v_{0y} }{g}$.
Наивысшая высота подъема — равна вертикальной координате в этот момент времени, поэтому
$H=y=h_1-h=v_{0y} \cdot \frac{v_{0y} }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_{0y}}{g} \right )^2}{2}=$
$=\frac{v_{0y}^2}{g}-\frac{v_{0y}^2 }{2g}=\frac{v_{0y}^2 }{2g}$.
Отсюда найдем проекцию начальной скорости на вертикальную ось
$v_{0y}^2=2g(h_1-h)$,
$v_{0y}=\sqrt{2g(h_1-h)}$,
$v_{0y}=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot (4,8-1,6)}= 8$ м/с.
Расстояние по горизонтали — это координата $x$ тела, отсюда можно найти проекцию начальной скорости на горизонтальную ось
$l=v_{0x} t=v_{0x} \cdot \frac{v_{0y} }{g} \Rightarrow v_{0x}=\frac{gl}{v_{0y}}$,
$v_{0x}=\frac{10 \cdot 6,4}{8}=8$ м/с.
Находим модуль начальной скорости
$v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$,
$v_0=\sqrt{8^2+8^2} \approx 11,3$ м/с.
Ответ: $\approx 11,3$ м/с.