Задача. Человек ростом ℎ, стоя на Земле, бросает из-за головы камень и хочет перебросить его через забор высотой $h_1$, находящийся на расстоянии $l$ от человека. Найдите угол, под которым нужно бросить камень, чтобы он перелетел через забор, коснувшись его в верхней точке своей траектории.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке. Начало координат поместим в ту точку, из которой был произведен бросок.
Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=v_{0x} t$,
$y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$.
В верхней точке траектории проекция скорости на вертикальную ось будет равна нулю, используя это условие, можно найти время подъема
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_{0y} — gt=0$,
$t=\frac{v_{0y} }{g}$.
Наивысшая высота подъема — равна вертикальной координате в этот момент времени, поэтому
$H=y=h_1-h=v_{0y} \cdot \frac{v_{0y} }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_{0y}}{g} \right )^2}{2}=$
$=\frac{v_{0y}^2}{g}-\frac{v_{0y}^2 }{2g}=\frac{v_{0y}^2 }{2g}$.
Отсюда найдем проекцию начальной скорости на вертикальную ось
$v_{0y}^2=2g(h_1-h)$,
$v_{0y}=\sqrt{2g(h_1-h)}$.
Расстояние по горизонтали — это координата $x$ тела, отсюда можно найти проекцию начальной скорости на горизонтальную ось
$l=v_{0x} t=v_{0x} \cdot \frac{v_{0y} }{g} \Rightarrow v_{0x}=\frac{gl}{v_{0y}}=\frac{gl}{\sqrt{2g(h_1-h)}}$.
Угол под которым должен быть произведен бросок можно найти через тангенс этого угла
$tg\, \alpha =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\sqrt{2g(h_1-h)}:\frac{gl}{\sqrt{2g(h_1-h)}}=\sqrt{2g(h_1-h)} \cdot \frac{\sqrt{2g(h_1-h)}}{gl}=$
$=\frac{2g(h_1-h)}{gl}=\frac{2(h_1-h)}{l}$,
$\alpha =arctg \, \frac{2(h_1-h)}{l}$.
Ответ: $\alpha =arctg \, \frac{2(h_1-h)}{l}$.