Задача. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 15 м/с. Чему равна максимальная высота подъёма камня, если известно, что во время движения его наибольшая скорость была втрое больше, чем наименьшая?
Краткое условие задачи: $v_1=15$ м/с.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке. Начало координат поместим в ту точку, из которой был произведен бросок.
Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=v_{0x} t$,
$y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$.
Покажем что начальная скорость, с которой брошено тело, будет равна скорости, с которой тело упадет на землю. Модуль скорости тела можно найти через ее проекции на координатные оси
$v_{1x}=v_{0x}+g_xt=v_{0x}$,
$v_{1y}=v_{0y}+g_yt=v_{0y}-gt$.
$v_1=\sqrt{v_{1x}^2+v_{1y}^2}$,
$v_1=\sqrt{v_{0x}^2+(v_{0y}-gt)^2}$.
Так как в момент падения $y=0$, то можно получить уравнение
$v_{0y}t-\frac{g t^2}{2}=0$,
$v_{0y}-\frac{g t}{2}=0$,
$v_{0y}=\frac{g t}{2}$,
$t=\frac{ 2v_{0y}}{g}$.
Подставим это выражение в уравнение скорости
$v_1=\sqrt{v_{0x}^2+\left( v_{0y}-g \cdot \frac{ 2v_{0y}}{g}\right)^2}=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=v_0$.
Таким образом, скорость с которой было брошено тело также равна 15 м/с. Понятно, что наибольшую скорость тело имеет при броске (и в момент падения), а наименьшую в верхней точке траектории. Проекция скорости в наивысшей точке подъема на вертикальную ось равна нулю, отсюда можно найти проекцию начальной скорости на горизонтальную ось из выражения
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_x^2}=v_x=v_{0x}$.
Теперь можно найти проекцию начальной скорости на вертикальную ось, а затем уже и наибольшую высоту подъема
$v_{0y}=\sqrt{v_0^2-v_{0x}^2}$,
$v_{0y}=\sqrt{15^2-5^2}=10\sqrt{2}$ м/с.
Используя условие равенства нулю проекции скорости на вертикальную ось, можно найти время подъема
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_{0y} — gt=0$,
$t=\frac{v_{0y} }{g}$.
Наивысшая высота подъема — равна вертикальной координате в этот момент времени, поэтому
$H=y=v_{0y} \cdot \frac{v_{0y} }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_{0y}}{g} \right )^2}{2}=\frac{v_{0y}^2}{g}-\frac{v_{0y}^2 }{2g}=\frac{v_{0y}^2 }{2g}$,
$H=\frac{(10\sqrt{2})^2 }{2 \cdot 10}=10$ м.
Ответ: 10 м.