Задача. Бомбардировщик пикирует на цель под углом $\alpha =60^{\circ}$ к горизонту со скоростью $v_0 = 150$ м/с и сбрасывает бомбу на высоте $ℎ = 600$ м. На каком расстоянии по горизонтали от цели надо освободить бомбу, чтобы она попала в цель? Рассмотрите случаи: а) цель неподвижна; б) цель приближается по курсу самолета со скоростью $v= 20$ м/с.
Решение. а) Начало координат разместим таким образом, чтобы в момент броска, горизонтальная координата равнялась нулю, а вертикальная — высоте, с которой был произведен бросок. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координат $x(t)$ и $y(t)$ от времени
$x=x_{0}+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,
$x=v_0 cos \alpha t$;
$y=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y=h-v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
В момент падения тела на поверхность земли, его вертикальная координата равна нулю $y=0$. Чтобы узнать через какой промежуток времени тело упадет на землю, приравняем уравнение координаты $y$ к нулю и решим это квадратное уравнение относительно неизвестной $t$
$h-v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$2h-2v_0 sin \alpha t- g t^2=0$,
$C=2h,\: B=-2v_0 sin \alpha,\: A=- g$,
$D=B^2-4AC=4v_0^2sin^2\alpha -4 \cdot (-g) \cdot 2h=$
$=4(v_0^2sin^2\alpha +2gh)$.
Нас интересует только положительный корень, поэтому время падения будет равно
$t=\frac{-B-\sqrt{D}}{2A}=\frac{2v_0 sin \alpha-\sqrt{4(v_0^2sin^2\alpha +2gh)}}{2 \cdot (-g)}=\frac{-v_0 sin \alpha+\sqrt{v_0^2sin^2\alpha +2gh}}{g}$,
$t=\frac{-150 \cdot 0,5\sqrt{3}+\sqrt{150^2 \cdot (0,5\sqrt{3})^2 +2 \cdot 10 \cdot 600}}{10}\approx 4$ с.
Цель должна находиться на расстоянии равном горизонтальной координате тела в момент падения на землю
$L=x=150 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 300$ м.
б) Начало координат разместим таким образом, чтобы в момент броска, горизонтальная координата равнялась нулю, а вертикальная — высоте, с которой был произведен бросок. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координат от времени. Для бомбы
$x=x_{0}+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,
$x=v_0 cos \alpha t$;
$y=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y=h-v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
В момент падения бомбы на поверхность земли, ее вертикальная координата равна нулю $y=0$. Чтобы узнать через какой промежуток времени она упадет на землю, приравняем уравнение координаты $y$ к нулю и решим это квадратное уравнение относительно неизвестной $t$
$h-v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$.
Видно, что это уравнение нисколько не отличается от того, что было написано нами в пункте а), поэтому бомба упадет на цель через время $t=4$ с. За это время она пройдет по горизонтали также расстояние равное $l_1=x_1=150 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 300$ м. Цель же, двигаясь вдоль оси $x$ с постоянной скоростью, пройдет за это же время расстояние $l_2=v t$, $l_1=20 \cdot 4=80$ м. Значит самолет должен сбросить бомбу на расстоянии
$L=l_1+l_2$,
$L=300+80=380$ м.
Примечание. Вывод о том, что время падения бомбы будет таким же как в пункте а) можно было сделать уже по виду уравнений координат.
Ответ: а) 300 м; б) 380 м.