Задача. Модель самолета летит горизонтально на высоте $ℎ = 10$ м со скоростью $v= 10$ м/с. Под каким углом к горизонту мальчик должен бросить камень со скоростью $v_0 = 20$ м/с, чтобы он попал в самолет? В момент броска модель самолета была над мальчиком. В какой момент времени камень попадет в цель? (60 градусов, 0,73 с)
Решение. Начало координат разместим в той точке откуда был брошен камень. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска. Поскольку характер движения тела после попадания камня в модель самолета не ясен, то на рисунке показан только движение тел до столкновения.
Запишем уравнения зависимостей координат от времени. Для камня
$x_1=x_{0}+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,
$x_1=v_0 cos \alpha t$;
$y_1=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y_1=v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
Для самолета
$x_2=vt$,
$y_2=h$.
В момент попадания камня в модель самолета, их горизонтальные (и вертикальные тоже) координаты равны
$v_0 cos \alpha t=vt$.
Из этого уравнения можно найти угол под которым необходимо бросить камень
$cos \alpha =\frac{vt}{v_0 t}=\frac{v}{v_0}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =60^{\circ}$.
Для нахождения времени до столкновения, воспользуемся равенством вертикальных координат в этот момент времени
$v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=h$.
$\frac{g t^2}{2}-v_0 sin \alpha t+h =0$,
$g t^2-2v_0 sin \alpha t+2h =0$,
$A= g,\: B=-2v_0 sin \alpha,\: C=2h$,
$D=B^2-4AC=4v_0^2sin^2\alpha -4 \cdot g \cdot 2h=$
$=4(v_0^2sin^2\alpha-2gh)$.
Время встречи камня и модели самолета будет равно
$t=\frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}=\frac{2v_0 sin \alpha \pm \sqrt{4(v_0^2sin^2\alpha -2gh)}}{2 g}=\frac{v_0 sin \alpha \pm \sqrt{v_0^2sin^2\alpha -2gh}}{g}$,
$t_1=\frac{20 \cdot 0,5\sqrt{3}-\sqrt{20^2 \cdot (0,5\sqrt{3})^2-2 \cdot 10 \cdot 10}}{10}\approx 0,73$ с.
Второй корень уравнения находить бессмысленно, т.к. получим значение времени соответствующее встречи тел как показано на рисунке, будто бы тела встретились дважды. Но такого быть не может, т.к. после первоначальной встречи характер движения тел изменится.
Ответ: $60^{\circ}$; $\approx 0,73$ с.