Задача. Из одной и той же точки с поверхности земли брошены два камня. Первый упал на землю на расстоянии $L$, а второй — на расстоянии $3L$, от точки бросания. Под каким углом к горизонту был брошен первый камень, если второй камень брошен под углом 30°, а высота подъёма у них одинакова?
Решение. Начало координат разместим в той точке откуда были брошены камни. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координат от времени. Для камня
$x_1=v_{01} cos \alpha t$,
$y_1=v_{01} sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$;
$x_2=v_{02} cos \beta t$,
$y_2=v_{02} sin \beta t- \frac{g t^2}{2}$.
Вначале получим формулы нахождения дальности полета и высоты подъема, например, для первого тела. Для второго тела эти формулы будут иметь аналогичный вид. В наивысшей точке траектории скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю
$v_y=v_{01y}+g_y t = v_{01} sin \alpha — gt=0$,
отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_{01} sin \alpha }{g}$. Подставим это значение времени в уравнение координаты y и найдем искомую высоту
$H_1=y_1=v_{01} sin \alpha \cdot \frac{v_{01} sin \alpha }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_{01} sin \alpha }{g} \right )^2}{2}=\frac{v_{01}^2 sin^2\alpha }{g}-\frac{v_{01}^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_{01}^2 sin^2\alpha }{2g}$.
Время полета тела будет равно удвоенному времени полета, т.е. $t=\frac{2v_{01} sin \alpha }{g}$, тогда дальность полета можно найти из уравнения координаты x
$L_1=x_1=v_{01} cos \alpha \cdot \frac{2v_{01} sin \alpha }{g}=\frac{2v_{01}^2 sin \alpha cos \alpha}{g}=\frac{v_{01}^2 sin 2\alpha}{g}$.
Так как $H_1=H_2$, то
$\frac{v_{01}^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_{02}^2 sin^2 \beta }{2g}$,
$v_{01}^2 sin^2\alpha =v_{02}^2 sin^2 \beta$,
$\frac{v_{01}^2}{v_{02}^2} =\frac{sin^2 \beta}{sin^2\alpha}$.
Из условия задачи следует, что
$L_2=3L_1$,
$\frac{v_{02}^2 sin 2\beta }{g}=\frac{3v_{01}^2 sin 2\alpha}{g}$,
$v_{02}^2 sin 2\beta =3v_{01}^2 sin 2\alpha$,
$\frac{v_{01}^2}{v_{02}^2} =\frac{sin 2\beta}{3sin 2\alpha}$.
Приравняем правые части двух последних выражений и из полученного равенства найдем искомый угол
$\frac{sin^2 \beta}{sin^2\alpha}=\frac{sin 2\beta}{3sin 2\alpha}$,
$\frac{sin^2 \beta}{sin^2\alpha}=\frac{2sin \beta\, cos\beta }{3 \cdot 2sin \alpha\, cos\beta }$,
$\frac{sin \beta}{sin\alpha}=\frac{cos\beta }{3 cos\alpha }$,
$\frac{tg \beta}{tg\alpha}=\frac{1 }{3 } \Rightarrow tg \alpha=3 tg \beta=3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$,
$\alpha=60^{\circ}$.
Ответ: $60^{\circ}$.