Задача. Два тела, брошенные с поверхности земли из одной точки с одной и той же по модулю скоростью под разными углами к горизонту, попали в одну и ту же точку на поверхности земли. Первое тело достигло высоты $h_1 = 5$ м, а второе — высоты $h_2 = 20$ м.
а) Чему равна сумма углов, образованных начальными скоростями тел с горизонтом?
б) До какой высоты $h$ поднялось бы тело, если бросить его с той же начальной скоростью вертикально вверх?
в) Чему равна дальность полёта тел?
г) Чему равна максимальная дальность полёта $x$ с той же начальной скоростью?
Решение. а) В теоретической справке нами были получены формулы нахождения высоты подъема и дальности полета. Воспользуемся этими формулами сразу, без вывода (вывод этих формул можно посмотреть здесь). Мы знаем что дальность полета тел одинакова, значит выполняется равенство
$\frac{v_{0}^2 sin 2\beta }{g}=\frac{v_{0}^2 sin 2\alpha}{g}$,
$sin 2\beta = sin 2\alpha$.
Это равенство выполняется, во-первых, если $\beta = \alpha$, но нас это не устраивает, т.к. тела были брошены под разными углами к горизонту по условию задачи. Преобразуем уравнение с помощью тригонометрического тождества разности синусов
$sin 2\alpha-sin 2\beta = 0$,
$2sin \frac{2\alpha-2\beta }{2} \cdot cos \frac{2\alpha+2\beta}{2} = 0$,
$2sin (\alpha-\beta) \cdot cos (\alpha+\beta) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Из $sin (\alpha-\beta)=0$ следует что $ \alpha =\beta$. А из уравнения $cos (\alpha+\beta) = 0$, что
$\alpha+\beta=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.
Так как $\alpha$ и $\beta$ — углы первой четверти, то их сумма не может быть больше $\pi$. Значит сумма углов
$\alpha+\beta=\frac{\pi }{2}=90^{\circ}$.
б) Высота, на которую поднимется тело, брошенное со скоростью $v_0$ вертикально, можно найти по формуле
$s_y=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{2g_y}=\frac{-v_0^2}{-2g}=\frac{v_0^2}{2g}=h$.
Пусть
$h_1=\frac{v_{0}^2 sin^2\alpha }{2g}$,
$h_2=\frac{v_{0}^2 sin^2 \beta }{2g}$.
Складываем последние два уравнения и преобразовываем их, учитывая, что $\beta =90^{\circ}-\alpha$
$h_1+h_2=\frac{v_{0}^2 sin^2 \alpha }{2g}+\frac{v_{0}^2 sin^2 \beta }{2g} = \frac{v_{0}^2 (sin^2 \alpha + sin^2 \beta ) }{2g}=\frac{v_{0}^2 (sin^2 \alpha + sin^2 (90^{\circ}-\alpha) ) }{2g}=$
$=\frac{v_{0}^2 (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) }{2g}=\frac{v_{0}^2 }{2g}=h$,
$h=5+20=25$ м.
в) Попробуем найти вначале начальную скорость, с которой были брошены тела. Но для этого найдем, например, угол $ \alpha$, сравнив высоты подъема тел
$\frac{h_1}{h_2}=\frac{v_{0}^2 sin^2 \alpha }{2g}:\frac{v_{0}^2 sin^2 \beta }{2g} = \frac{v_{0}^2 sin^2 \alpha }{2g} \cdot \frac{2g }{v_{0}^2 sin^2 \beta }=\frac{sin^2 \alpha}{sin^2 \beta}$,
$h_1sin^2 \beta=h_2sin^2 \alpha$,
$5 \cdot sin^2 \beta=20 \cdot sin^2 \alpha$,
$sin^2 \beta=4 sin^2 \alpha$,
$sin \beta=2 sin \alpha$,
$sin (90^{\circ}-\alpha)=2 sin \alpha$,
$cos \alpha=2 sin \alpha$,
$ctg \alpha=2$.
Применим тригонометрическое тождество, связывающее квадрат синуса с квадратом котангенса
$sin^2\alpha =\frac{1}{1+ctg^2 \alpha}$,
$sin\alpha =\sqrt{\frac{1}{1+ctg^2 \alpha}}=\sqrt{\frac{1}{1+2^2 }}=\frac{1}{\sqrt{5}}$,
$cos\alpha =2 sin\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Тогда, из формулы высоты подъема, например, первого тела можно найти квадрат начальной скорости
$h_1=\frac{v_{0}^2 }{2g(1+ctg^2 \alpha)}$,
$v_{0}^2=2gh_1(1+ctg^2 \alpha)$.
Этого выражения будет вполне достаточно, чтобы ответить на оставшиеся два вопроса, поэтому саму начальную скорость мы искать не будем
$l_2=l_1=\frac{v_{0}^2 sin 2\alpha}{g}=\frac{2v_{0}^2 sin \alpha\, cos\alpha}{g}=\frac{2 \cdot 2gh_1(1+ctg^2 \alpha) \cdot sin \alpha\, cos\alpha}{g} =$,
$=4h_1(1+ctg^2 \alpha) \cdot sin \alpha\, cos\alpha$,
$l_2=l_1=4 \cdot 5 \cdot (1+2^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=40$ м.
г) Из формулы дальности полета
$l_{max}=\frac{v_{0}^2 sin 2\alpha}{g}$
можно сделать вывод, что дальность полета будет наибольшей, если $sin 2\alpha=1$, т.е.
$l_{max}=\frac{v_{0}^2}{g}$,
$l_{max}=\frac{v_{0}^2}{g}=\frac{2gh_1(1+ctg^2 \alpha)}{g}=2h_1(1+ctg^2 \alpha)$,
$l_{max}=2 \cdot 5 \cdot (1+2^2)=50$ м.
Ответ: а) $\alpha+\beta=90^{\circ}$; б) 25 м; в) 40 м; г) 50 м.