Задача. С какой скоростью должен вылететь снаряд из пушки в момент старта ракеты, чтобы сбить ее? Ракета стартует вертикально с постоянным ускорением 4 м/с2. Расстояние от места старта ракеты (они находятся на одном высотном уровне) составляет 9 км. Пушка стреляет под углом 45° к горизонту.
Краткое условие задачи: $v_{01}=0$ м/с; $a=9$ м/с2; $l=9000$ м; $\alpha=45^{\circ}$.
Решение. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке. Начало координат поместим в точку из которой стартовала ракета.
При равноускоренном движении координаты тела задаются уравнениями
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2}$.
Уравнения движения ракеты.
$x_1=0$,
$y_1=\frac{at^2}{2}$.
Для выпущенного из пушки снаряда ускорение которого $\vec{g}$
$x_2=l- v_0 cos \alpha t$,
$y_2=v_{02} sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
В момент встречи координаты у тел будут равны
$\frac{at^2}{2}=v_{02} sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$,
$\frac{at}{2}=v_{02} sin \alpha — \frac{g t}{2}$,
$\frac{at}{2}+\frac{g t}{2}=v_{02} sin \alpha$,
$\frac{(a+g)t}{2}=v_{02} sin \alpha$,
$t=\frac{2v_{02} sin \alpha }{a+g}$.
Координаты $x$ в момент встречи также равны, т.е.
$l- v_0 cos \alpha t=0$,
$v_0 cos \alpha t=l$.
$v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_{02} sin \alpha }{a+g}=l$,
$\frac{v_{02}^2 2cos \, \alpha sin\, \alpha }{a+g}=l$,
$\frac{v_{02}^2 sin\, 2\alpha }{a+g}=l$,
$v_{02} =\sqrt{\frac{l(a+g)}{sin\, 2\alpha}}$,
$v_{02} =\sqrt{\frac{9000 \cdot (4+10)}{sin\, 90^{\circ}}}\approx 355$ м/с.
Ответ: $\approx 355$ м/с.