1.3. Равномерное прямолинейное движение. Теория

Наиболее простым видом движения, который возможен в природе, является равномерное прямолинейное движение. Движение называется равномерным, если тело за одинаковые промежутки времени проходит одинаковые расстояния. Введем понятие скорости прямолинейного равномерного движения. Скоростью равномерного прямолинейного движения точки называется векторная величина, равная отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{s}}{t}$.

Следует отметить, что наиболее распространенной ошибкой является следующее суждение: «Движение называется равномерным, если его скорость не изменяется». В случае, если мы говорим о скорости равномерного прямолинейного движения это действительно так. Но, если мы имеем дело с равномерным движением по криволинейной траектории, то данное суждение является неверным, поскольку скорость является величиной векторной и при равномерном движении тела по кривой линии, например, окружности, будет изменяться ее направление.

Но, вернемся к рассматриваемому нами движению. Из формулы скорости получаем, что перемещение при равномерном прямолинейном движении равно $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{v}t$, откуда следует, что проекция перемещения $s_{x}=v_{x}t$. Таким образом на основании результатов, полученных нами в пункте 1.2. Траектория. Путь. Перемещение получим решение основной задачи кинематики для равномерного прямолинейного движения или уравнение равномерного прямолинейного движения:

$x=x_{0}+v_{x}t$.

Графическое представление движения. Уравнение $x=x_{0}+v_{x}t$ задает зависимость координаты от времени, а значит, можно построить график этой зависимости. Данная зависимость имеет линейный вид (т.к. переменная $t$ в первой степени), значит графиком будет являться прямая. Возможны следующие варианты:

I. $x_{0}=0,  v_{1x}>0, v_{2x}<0$

II. $x_{0}>0,  v_{1x}>0, v_{2x}<0$

III. $x_{0}<0,  v_{1x}>0, v_{2x}<0$

Графическое представление скорости. Графиком скорости является прямая, параллельная оси времени. 

Из графика видно, что $v_{1x}=v_{1},  v_{2x}=-v_{2}$. Заметим, что $OA=v_{1x}, OC=t_{1}$ соответствует некоторому интервалу времени движения. Тогда

$S_{OABC}=OA\cdot OC = v_{1x} \cdot t_{1}=s_{1x}$.

То есть перемещение тела можно найти как площадь под графиком скорости. Аналогично для графика $v_{2x}$ имеем:

 $S_{ODEF}=OF\cdot OD = v_{2x} \cdot t_{2}=s_{2x}=-v_{2} \cdot t_{2}$.

Стоить заметить, что во втором случае, проекция отрицательна, то есть, если график скорости лежит ниже оси времени, то проекция перемещения будет отрицательна, если график расположен выше оси времени, то положительна.

Пример. По прямолинейной автостраде движутся равномерно навстречу друг другу автобус и мотоциклист. В начальный момент времени координаты автобуса и мотоциклиста соответственно равны 500 м и —300 м, а скорости движения 20 м/с и 10 м/с. Напишите уравнение движения автобуса и мотоциклиста, найдите положение этих тел через 5 с. Когда каждый из них пройдет через начало координат? В какой момент времени и где произойдет их встреча? Каким будет расстояние между ними через 1,5 мин после начала наблюдения?

Решение. Сделаем поясняющий рисунок к задаче.

Тела движутся равномерно, значит уравнение движения каждого тела выражается формулой $x=x_{0}+v_{x}t$. Соответственно имеем

$x_{1}=500-20t$,

$x_{2}=-300+10t$.

Через 5 с тела будут находиться в точках с координатами 

$x_{1}=500-20\cdot 5 = 400$ м,

$x_{2}=-300+10\cdot 5 = -250 $ м.

Если тело проходит через начало координат, то его его координата равна нулю:

$500-20t=0\Rightarrow t=25$ с,

$-300+10t=0\Rightarrow t=30$с.

В момент встречи координаты тел будут равны $500-20\cdot t = -300+ 10 \cdot t$, значит,  $ t\approx 26,7 $ с.

Для того чтобы найти место встречи подставим найденное время в одно из уравнений, например, первое $x_{1}\approx 500-20 \cdot 26,7 = -34$ м. Расстояние между телами можно найти как разность между координатами $l=\left | x_{1}-x_{2} \right |$.  Моменту времени 1,5 минуты в системе СИ соответствует время 90 с.

$x_{1}=500-20\cdot 90 = -1300$ м,

$x_{2}=-300+10\cdot 90 = 600 $ м,

$l=\left | -1300-600 \right |=1900$ м.

Пример. Ось х направлена вдоль дороги, по которой едут два велосипедиста. Зависимость координаты х от времени t в единицах СИ для первого велосипедиста выражается формулой $х_{1} = 5t$, а для второго — формулой $х_{2} = 150 — 10t$. Найдите:

а) время встречи велосипедистов;

б) координату места встречи велосипедистов.

Решение. В момент встречи координаты тел будут равны. Значит, 

$5t=150 — 10t$

$t=10$ с.

Тела встретятся через 10 с. Для того, чтобы найти место встречи, можно подставить найденное время в любое из уравнений для координат тел 1 и 2. Получим, $х = 50$ м.

Пример. Из точек, находящихся на расстоянии 100 м друг от друга, начали одновременно двигаться навстречу друг другу два тела — первое со скоростью 5 м/с, а второе — со скоростью 15 м/с.

а) Напишите формулы, выражающие в единицах СИ зависимость координаты от времени для каждого тела.

б) Начертите графики зависимости координаты от времени для каждого тела.

в) Через какое время тела встретятся?

г) Чему равен модуль перемещения каждого тела до встречи?

Решение. Сделаем рисунок

а) Поместим начало координат в точку из которой начинает движение первый автомобиль, тогда $x_{01}=0$ м, $x_{02}=100$ м. Уравнения движения для первого и второго тела соответственно, с учетом знаков проекций скоростей

$x_{1}=5t$,

$x_{2}=100-15t$.

б) Графики движений

в) Время встречи найдем из условия равенства координат в момент встречи. По графикам видно, что тела находились в точке с одной и той же координатой в момент времени равным 5 с (то же самое можно найти аналитически, составив уравнение $5t=100-15t$.

г) В момент встречи координаты тел равны $x_{1}=x_{2}=25$ м. Перемещения тел равны

$s_{1}=\left | x_{1}-x_{01} \right |=25$ м,

$s_{2}=\left | x_{2}-x_{02} \right |=75$ м.

Пример. По заданным графикам найти начальные координаты тел и проекции скорости их движения. Написать уравнения движения тел х = x(t). Из графиков и уравнений найти время и место встречи тел, движения которых описываются графиками II и III.

Решение. Начальные координаты первого и второго тела одинаковы и равны, соответственно, 5 м. Начальная координата третьего тела равна $x_{03}=-10$ м. Для того чтобы написать уравнения прямых 2 и 3 найдем проекции векторов скоростей этих движений. Заметим, что координата первого тела не меняется, значит, тело неподвижно, соответствующее уравнение движения $x_{1}=5$. Итак, 

$v_{x}=\frac{x-x_{0}}{t}$,

$v_{2x}=\frac{-15-5}{20}=-1$ м/с,

$v_{3x}=\frac{0-(-10)}{20}=0,5$ м/с.

Уравнения движений: 

$x_{2}=x_{02}+v_{2x}=5-t$,

$x_{3}=x_{03}+v_{3x}=-10+0,5t$.

Из графика видно, что координата и время встречи равны $x=-5$ м и $t=10$ с. Ответим на этот вопрос, найдя время движения аналитически:

$5-t=-10+0,5t \Rightarrow 0,5t=5 \Rightarrow t=10$ с.

Пример. На рисунке 2.4 изображён график зависимости проекции скорости тела от времени. Начальная координата тела х₀ = 2 м.

а) Постройте графики зависимости координаты тела и пройденного им пути от времени.

б) Найдите модуль перемещения тела за 10 с.

в) Определите, в какой момент времени перемещение тела было равно нулю.

Решение. а) Первые 10 с тело двигалось в направлении противоположном оси х со скоростью равной по модулю 5 м/с. Через 10 с координата тела будет равна $x=2-5\cdot10=-48$ м. Следующие 5 с координата тела не менялась, значит оно покоилось. Затем тело двигалось со скорость 10 м/с в направлении оси х, координата тела через 10 с равна $x=-48+10\cdot10=52$ м. График координаты будет выглядеть следующим образом

За первые 10 с тело проходит путь равный 50 м, затем 5 с не движется, за последние 10 с тело проходит путь равный 100 м. График пути будет иметь вид:

б) Проекцию перемещения найдем как площадь под графиком скорости за первые 10 с движения, учитывая, что график лежит ниже оси времени $s_{x}=-S=-5\cdot10=-50$ м. Тогда, модуль перемещения будет равен $s=50$ м.

в) Перемещение будет равно нулю, когда сумма проекций перемещений на отдельных участках равна нулю. Из графика видно, что это условие выполняется в момент времени 25 с, так как равны площади прямоугольников (на рисунке выделены красным цветом).

Задачи для самостоятельного решения.

1. Движение грузового автомобиля описывается уравнением х₁ = -270 + 12t, а движение пешехода по обочине того же шоссе — уравнением х₂ = -1,5t. Сделать пояснительный рисунок (ось X направить вправо), на котором указать положение автомобиля и пешехода в момент начала наблюдения. С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Когда и где они встретились?

2. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со скоростью 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Написать уравнения движений мотоциклистов в системе отсчета, связанной с землей, приняв за начало координат место нахождения второго мотоциклиста в начальный момент времени и выбрав за положительное направление оси X направление движения мотоциклистов. Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов (рекомендуемые масштабы: в 1 см 100 м; в 1 см 5 с). Найти время и место встречи мотоциклистов.

3. Из пункта А в пункт В выехала автомашина с постоянной скоростью v1 = 80 км/ч. Спустя ∆t = 15 мин из пункта В в пункт А выехал велосипедист с постоянной скоростью v2 = 20 км/ч. Найти время и место встречи, если расстояние между пунктами А и В равно ℓ = 55 км.

4. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно l,одновременно навстречу друг другу начали двигаться два тела:первое со скоростью v1,второе-v2.Определить, через сколько времени они встретятся и расстояние от точки А до места их встречи.

5. Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: х₁ = 5t, х₂ = 150 — 10t. Построить графики зависимости x(t). Найти время и место встречи.

6. Опишите, как движутся автобусы, если их движение описывается графиками, изображенными на рисунке 10. Найдите начальные координаты, модули и направления скоростей, напишите уравнения зависимости х (t), найдите место и время встречи.

7. Материальная точка движется вдоль оси Х так, что проекция ее скорости изменяется как показано на рисунке. В начальный момент времени координата точки равна $x_{0}=-1$ м. Записать закон движения точки. Построить график зависимости координаты и пути от времени. Чему равны путь и перемещение точки за первые 2 с движения?