Задача. Однородный стержень АВ (см. рис.) прикреплен к вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается под углом к вертикали $\alpha=60^{\circ}$ с помощью троса ВС, образующего с ним угол $\beta=30^{\circ}$. Определить модуль и направление силы реакции шарнира, если известно, что масса стержня $m=2$ кг.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по статике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Направление действия силы реакции, действующей на верхний конец стержня однозначно не определено, можно лишь предположить, что общее направление — вправо и вверх (против действия силы тяжести и силы натяжения троса $\vec{F}$).
3. Записываем первое условие равновесия
$\vec{N}+\vec{F}+m\vec{g}=0$.
Так как направление действия силы реакции однозначно не определено, то проекции этой силы на координатные оси не находим. Кроме этого нам потребуется знать угол наклона вектора $\vec{F}$, например, к горизонтальной оси:
$\angle OBC=\angle ABC+\angle OBA=\beta +90^{\circ}-\alpha$,
$\angle OBC=30^{\circ} +90^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}=\alpha$.
Теперь находим проекции векторов на координатные оси, с учетом сделанных замечаний,
$N_x-F\, cos\, \alpha=0$, (1)
$N_y-mg+F\, sin\, \alpha=0$. (2)
Используя эти уравнения, можно будет найти модуль силы реакции через проекции на координатные оси по формуле $N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}$.
4. Для нахождения модуля силы реакции, нам требуется знать выражение, определяющее модуль силы $F$. Поэтому в качество оси вращения выберем точку опоры стрежня, так мы избавимся от не нужного нам пока что и неизвестного модуля силы реакции в правиле моментов.
5. На рисунке покажем плечи сил, относительно выбранной оси. Помним, что плечо силы равно длине перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.
Плечи сил выразим из очевидных геометрических соотношений. Сила тяжести, действующая на стержень, прикладывается к его центру, поэтому
$\frac{l_1}{\frac{l}{2}}=sin\, \alpha\Rightarrow l_1=\frac{l}{2}\, sin\, \alpha$.
Аналогично находим плечо силы $\vec{F}$
$\frac{l_2}{l}=sin\,\beta\Rightarrow l_2=l\, sin\,\beta$.
Запишем правило моментов, учитывая то, куда вращает стержень каждая сила относительно выбранной оси
$mgl_1-Fl_2=0$.
6. Находим модуль искомой силы
$mg \cdot \frac{l}{2}\, sin\, \alpha-Fl\, sin\,\beta=0$,
$mg \, sin\, \alpha-2F\, sin\,\beta=0$,
$mg \, sin\, \alpha=2F\, sin\,\beta$,
$F=\frac{mg \, sin\, \alpha}{2\,sin\,\beta}$,
$F=\frac{2 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}=10\sqrt{3}$ Н.
Теперь используем это выражение для нахождения модуля силы реакции. Из уравнений (1) и (2)
$N_x=F\, cos\, \alpha$,
$N_x=10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}=5\sqrt{3}$ Н,
$N_y=mg-F\, sin\, \alpha$,
$N_y=2 \cdot 10-10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5$ Н.
Подставляем полученные выражения в формулу нахождения модуля силы реакции через проекции на координатные оси
$N=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=10$ Н.
Направление вектора силы реакции найдем через тангенс угла его наклона к горизонтали
$tg\, \gamma =\frac{N_y}{N_x}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$,
$\gamma =30^{\circ}$.
Ответ: 10 Н и $30^{\circ}$.