Задача. Тело начинает двигаться вдоль прямой из состояния покоя с постоянным ускорением. Через 10 мин ускорение тела меняется по направлению на противоположное, оставаясь таким же по модулю. С этим ускорением тело движется ещё 20 мин. Во сколько раз путь, пройденный телом, больше модуля перемещения?
Решение. 1. Итак, тело движется из состояния покоя с постоянным ускорением. Через промежуток времени $t_1=10$ мин скорость этого тела будет равна $v$. Именно с этой начальной скоростью и начнет движение тело, после того как изменит направление движения на противоположное. Заметим также, что на втором участке $t_2=2t_1=20$ мин, а $a=a_1$, .
2. Выполним чертеж, на котором отдельно покажем для большей иллюстрации перемещение тела за время $t_1$ и $t_2$.
3. Запишем уравнение перемещения в проекциях
$s_x=v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}$,
которое нам потребуется, как для того чтобы сравнить перемещения и пути. А также формулу нахождения проекции скорости, чтобы найти скорость тела в конце первого участка (она нам понадобится, т.к. она является начальной на втором участке движения)
$v_x=v_{0x}+a_xt$.
4. Найдем проекции векторов. На первом участке
$s_{1x}=s_1=\frac{at_1^2}{2}$,
$v=at_1$.
На втором участке
$s_{2x}=vt_2-\frac{a_1 t_2^2}{2}$.
5. Преобразуем последнее выражение
$s_{2x}=at_1t_2-\frac{a t_2^2}{2}=at_1 \cdot 2t_1-\frac{a (2t_1)^2}{2}=2at_1^2-\frac{4a t_1^2}{2}=0$.
Как же получилось, что перемещение тела на втором участке равно нулю? Когда направление ускорения поменялось на противоположное, то оно стало тормозить. В момент остановки (движение все время равноускоренное!!), тело меняет направление движения на противоположное и к моменту времени $t_2$ возвращается в ту самую точку, откуда начал движение на втором участке.
Перемещение тела за все время движения тела $s_x=s_{1x}+s_{2x}=\frac{at_1^2}{2}$. Теперь разберемся с пройденным путем. Для этого нам потребуется найти перемещение до момента остановки тела во втором случае. Для этого воспользуемся формулой перемещения
$s_{x}=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2a_x}$,
которая после нахождения проекции, с учетом наших обозначений примет вид
$s_{0}=\frac{v^2}{2a_1}$.
Здесь $s_0$ — это перемещение тела до остановки. Преобразуем эту формулу
$s_{0}=\frac{(at_1)^2}{2a}=\frac{at_1^2}{2}$.
Путь, пройденный телом за все время движения $l=s_1+s_0+s_0=s_1+2s_0$ (здесь мы учли, что тело дважды прошло путь $s_0$ на втором участке — туда и обратно)
$l=\frac{at_1^2}{2}+2 \cdot \frac{at_1^2}{2}=3 \cdot \frac{at_1^2}{2}=3s$.
Таким образом, пройденный путь в три раза больше перемещения тела.
Ответ: в 3 раза.
Примечание. Эта задача решается намного проще, если построить график скорости и по нему найти перемещение и путь.