Задача. Как и во сколько раз надо изменить начальную скорость тела, брошенного горизонтально, чтобы при высоте, вдвое меньшей, получить прежнюю дальность полета?
Краткая запись условия: $L_1=L_2$, $h_1=2h_2$.
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Задача не содержит каких-либо числовых значений величин, но содержит отношения между однородными величинами, характеризующими движения. В таких случаях задачу решают через сравнение величин отношение между которыми не заданы. При решении задачи основная цель — получить формулу, которая бы связывала сравниваемую величину с теми величинами, отношения между которыми уже известны. В нашем случае, мы получим формулу, выражающую начальную скорость с которой было брошено тело через высоту и дальность полета, а затем найдем отношение начальных скоростей. Это отношение даст нам ответ на вопрос задачи.
2. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось $x$ направим вдоль земли, в том же направлении, в котором движется тело. Координатную ось $y$ — вертикально вверх (см. чертеж).
3. Запишем координаты движущегося тела
$x=v_0t$,
$y=h-\frac{g t^2}{2}$.
4. Уравнения движения записаны, проекции векторов находить не нужно.
5. Из первого уравнения найдем выражение для времени движения
$t=\frac{x}{v_0}=\frac{L}{v_0}$.
В момент когда мяч упал на поверхность земли $y=0$, получим уравнение
$h-\frac{g t^2}{2}=0 \Rightarrow h=\frac{g t^2}{2}$.
В полученную формулу подставим выражение для времени движения и найдем формулу для нахождения начальной скорости
$h=\frac{g }{2} \cdot \left(\frac{L}{v_0} \right)^2\Rightarrow h=\frac{gL^2 }{2v_0^2}$,
$2hv_0^2=gL^2 \Rightarrow v_0^2=\frac{gL^2}{ 2h}$,
$v_0=\sqrt{\frac{gL^2}{ 2h}}$.
Находим отношение начальных скоростей
$\frac{v_{02}}{v_{01}}=\sqrt{\frac{gL_2^2}{ 2h_2}}: \sqrt{\frac{gL_1^2}{ 2h_1}}=\sqrt{\frac{gL_2^2}{ 2h_2}} \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{ gL_1^2}}=$
$=\sqrt{\frac{L_2^2}{h_2} \cdot \frac{h_1}{ L_1^2}}= \sqrt{ \frac{h_1}{ h_2}}=\sqrt{ \frac{2h_2}{ h_2}}=\sqrt{2} \approx 1,41$.
Видно, что начальная скорость при броске во втором случае должна быть в $\sqrt{2}$ (примерно в 1,41) раз больше, чем в первом.
Ответ: начальная скорость при броске должна увеличиться в $\sqrt{2}$ (примерно в 1,41) раз.