Задача. Дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью 10 м/с, равна высоте, на которую поднимается тело. Под каким углом к горизонту было брошено тело?
Краткая запись условия: $v_0=10$ м/с; $H=L$.
Решение. Начало координат поместим в точку бросания. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Получим выражения, определяющие высоту и дальность полета, а затем используем эти выражения для составления уравнения, из которого и найдем искомый угол. Напишем уравнения движения
$x=v_0 cos \alpha t$,
$y=v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
В верхней точке траектории проекция скорости на вертикальную ось будет равна нулю, используя это условие, можно найти время подъема
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$,
$t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$.
Наивысшая высота подъема — равна вертикальной координате в этот момент времени, поэтому
$H=y=v_0 sin \alpha \cdot \frac{v_0 sin \alpha }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_0 sin \alpha }{g} \right )^2}{2}=$
$=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{g}-\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}$,
$H=\frac{40^2 sin^2\, 60^{\circ} }{2 \cdot 10}=60$ м.
Дальность полета тела найдем из следующих соображений. В момент падения координата y она будет равна нулю, поэтому можно взять уравнение координаты y, приравнять его к нулю и найти время полета. После этого останется найти дальность полета как координату координату x в найденный момент времени
$v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$v_0 sin \alpha — \frac{g t}{2}=0$,
$v_0 sin \alpha = \frac{g t}{2}$,
$t=\frac{2v_0 sin \alpha}{g}$,
$L=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$,
Приравниваем полученные выражения, преобразовываем полученное равенство и решаем уравнение, относительно $ \alpha$
$\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$,
$\frac{ sin\alpha }{2}=2 cos \alpha$.
$sin\alpha =4 cos \alpha$.
Синус и косинус одновременно не могут равняться нулю, поэтому мы можем обе части уравнения (такие уравнения называются однородными) разделить, например, на косинус. Получим
$tg\, \alpha =4$,
$\alpha =arctg \, 4\approx 76^{\circ}$.
Ответ: $\alpha \approx 76^{\circ}$.
Примечание. Заметим, что значение начальной скорости нам при решении задачи не пригодилось. Это избыточное условие.