Задача. Футболист забивает штрафной гол с расстояния $l = 11$ м точно под перекладину ворот, высота которых $h = 2,5$ м. Какую скорость и под каким углом $\alpha$ к горизонту сообщил мячу футболист?
Краткая запись условия: $l = 11$ м; $h = 2,5$ м.
Решение. Начало координат поместим в точку бросания. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Решим эту задачу не через координаты, а через векторы. Поскольку время движения нам неизвестно, то воспользуемся формулой перемещения без времени и найдем из нее проекцию начальной скорости на ось $Oy$
$s_y=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{2g_y}$,
$s_y=\frac{-v_{0y}^2}{-2g}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=h$,
$v_{0y}^2=2gh$,
$v_{0y}=\sqrt{2gh}$.
В верхней точке траектории проекция скорости на вертикальную ось будет равна нулю, используя это условие, можно найти время подъема
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_{0y} — gt=0$,
$t=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{\sqrt{2gh}}{g}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.
Проекция перемещения на горизонтальную ось — расстояние до ворот $l$. Воспользуемся формулой перемещения, чтобы найти проекцию начальной скорости на горизонтальную ось
$s_x=v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2}=v_{0x}t=l$,
$l=v_{0x} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
Выражаем отсюда проекцию начальной скорости
$v_{0x}=l \cdot \sqrt{\frac{g}{2h}}$.
Модуль скорости найдем через проекции вектора начальной скорости на координатные оси
$v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$,
$v_0=\sqrt{\left(\sqrt{2gh} \right)^2+\left(l \cdot \sqrt{\frac{g}{2h}} \right)^2}=\sqrt{2gh+ \frac{gl^2}{2h}}=$,
$=\sqrt{\frac{4gh^2+gl^2}{2h}}=\sqrt{g \cdot \frac{4h^2+l^2}{2h}}$,
$v_0=\sqrt{10 \cdot \frac{4 \cdot 2,5^2+11^2}{2 \cdot 2,5}} \approx 17,1$ м/с.
Угол наклона вектора начальной скорости найдем также через проекции этого вектора на координатные оси
$tg\, \alpha =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\sqrt{2gh}:\frac{l\sqrt{g}}{\sqrt{2h}} = \sqrt{2gh} \cdot \frac{\sqrt{2h}}{l\sqrt{g}}=\frac{2h}{l}$,
$tg\, \alpha =\frac{2 \cdot 2,5}{11} \approx 0,45$,
$\alpha = arctg\, 0,45 \approx 24,2^{\circ}$.
Ответ: $v_0 \approx 17,1$ м/с и $\alpha \approx 24,2^{\circ}$.