Задача. Санки равномерно скатываются с горы, угол наклона которой к горизонту α = 30°. Каков должен быть наименьший угол β, образуемый веревкой с поверхностью горы, чтобы санки тянуть равномерно в гору?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике, приведенном в пункте «Обобщающая таблица «Силы в механике». Алгоритм решения задач по динамике«. Рассмотрим первое условие задачи: «Санки равномерно скатываются с горы, угол наклона которой к горизонту α = 30°». Используем это условие, чтобы найти коэффициент трения санок о горку.
1. Систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью. Очевидно, что она неподвижна относительно поверхности Земли, а значит такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что санки скатываются равномерно
$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{tr}}=0$.
Проекции на координатные оси:
$Ox: mg sin \alpha -F_{tr}=ma$,
$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.
4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha $, то $F_{tr}= \mu N = \mu mg cos \alpha$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$
$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. В последнем уравнении, после сокращения массы, получим
$g sin \alpha — \mu g cos \alpha =0$,
$g sin \alpha =\mu g cos \alpha$,
$\mu =\frac{g sin \alpha }{g cos \alpha}=tg \alpha$,
Рассмотрим второе условие задачи и найдем условие при котором под действие силы, приложенной под углом β к наклонной плоскости, санки можно будет тянуть равномерно вверх.
1. Систему отсчета по-прежнему свяжем с горкой. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow{N}$.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что тело движется равномерно:
$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F_{tr}}=0$.
Проекции на координатные оси:
$Ox: -Fcos\, \beta+mg sin \alpha +F_{tr}=0$,
$Oy: N- mg cos \alpha +Fsin\, \beta= 0 $.
4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha -Fsin\, \beta$, то $F_{tr}= \mu N = \mu (mg cos \alpha-F sin\, \beta)$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$
$Fcos\, \beta-mg sin \alpha — \mu (mg cos \alpha-Fsin\, \beta) =0$.
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. Из последнего уравнения найдем
$F=\frac{mg\left ( sin\, \alpha +\mu cos\, \alpha \right )}{cos\, \beta +\mu sin\, \beta }$.
Из последнего уравнения видно, что значение силы будет определено при любом значении угла $0^{\circ}\leqslant \beta \leq \frac{\pi }{2}$. Минимальным же углом, будет являться угол $\beta =0^{\circ}$.
Ответ: минимальный угол — $\beta =0^{\circ}$ (сила направлена вдоль наклонной плоскости).