Задача. На наклонной плоскости клина с углом наклона $\alpha$ неподвижно лежит кубик. Коэффициент трения между клином и кубиком равен $\mu$. Клин движется с ускорением в направлении, показанном на рисунке. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета связанная с наклонной плоскостью не является инерциальной, т.к. сама наклонная плоскость движется с ускорением (в принципе задачу можно решить и в неинерциальной системе отсчета). Выберем инерциальную систему отсчета, связав ее с поверхностью Земли. В момент начала движения брусок не обладает ускорением относительно наклонной плоскости, поэтому его ускорение относительно земли будет равно ускорению наклонной плоскости относительно земли.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона
$\vec{N}+m\vec{g}+\vec{F}_{mp}=m\vec{a}$.
Проекции на координатные оси:
$mg\, sin\, \alpha-F_{mp} =-ma\, cos\, \alpha$, (1)
$N-mg\, cos \, \alpha =-ma \, sin\, \alpha$. (2)
4. В момент начала скольжения сила трения покоя по модулю равна силе трения скольжения. Согласно закону Амонтона-Кулона $F_{mp}=\mu N$. Из уравнения (2) находим модуль силы реакции и выражаем через него модуль силы трения
$N=mg\, cos \, \alpha -ma \, sin\, \alpha$,
$F_{mp}=\mu(mg\, cos \, \alpha -ma \, sin\, \alpha)$.
5. Кинематические уравнения при решении задачи не требуются.
6. Перепишем второй закона Ньютона в проекциях на координатную ось $x$ с учетом того что получили в пункте 4 и находим искомое ускорение
$mg\, sin\, \alpha-\mu(mg\, cos \, \alpha -ma \, sin\, \alpha) =-ma\, cos\, \alpha$,
$mg\, sin\, \alpha-\mu mg\, cos \, \alpha +\mu ma \, sin\, \alpha =-ma\, cos\, \alpha$,
$g\, sin\, \alpha-\mu g\, cos \, \alpha +\mu a \, sin\, \alpha =-a\, cos\, \alpha$,
$a\, cos\, \alpha +\mu a \, sin\, \alpha=\mu g\, cos \, \alpha-g\, sin\, \alpha$,
$a(cos\, \alpha +\mu \, sin\, \alpha)=g(\mu \, cos \, \alpha-\, sin\, \alpha )$,
$a=\frac{g(\mu \, cos \, \alpha-\, sin\, \alpha )}{cos\, \alpha +\mu \, sin\, \alpha}$,
$a =\frac{g(\mu \, cos \, \alpha- sin\, \alpha)}{cos\, \alpha +\mu \, sin\, \alpha}=g \cdot \frac{cos\, \alpha \left(\mu-\frac{sin\, \alpha }{cos\, \alpha} \right)}{cos\, \alpha\left(1+\mu \cdot \frac{sin\, \alpha }{cos\, \alpha} \right)}=g\cdot \frac{\mu -tg\,\alpha}{1+\mu tg\, \alpha}$.
При этом должно выполняться условие $\mu < tg\, \alpha$. Если это условие не выполнено, то кубик будет соскальзывать при любом ускорении клина.
Ответ: $a=g\cdot \frac{\mu -tg\,\alpha}{1+\mu tg\, \alpha}$.