Задача. Два груза, массы которых равны 0,1 кг и 0,2 кг, связаны нитью и лежат на гладкой поверхности. К левому грузу приложена сила 0,5 Н, к правому — в противоположном направлении сила 3 Н. Чему равна сила натяжения нити? Изменится ли натяжение нити, если силы поменять местами?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике. Рассмотрим движение системы тел в первоначальном состоянии.
1. Систему отсчета свяжем с поверхностью Земли, такая СО является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$\vec{F}_1+\vec{T}+m_1 \vec{g}+\vec{N}_1=m_1\vec{a}$,
$\vec{F}_2+\vec{T}’+m_2 \vec{g}+\vec{N}_2=m_2\vec{a}$.
В проекциях на координатную ось $x$
$F_1-T=m_1a$, (1)
$T’-F_2=m_2a$. (2)
Записывать второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось бессмысленно, т.к. в задаче отсутствует трение и модули сил реакции не пригодятся.
4. Сила натяжения нити будет одинаковой по модулю во всех ее точках, т.е. $T’=T$.
5. Кинематические уравнения при решении задачи не требуются.
6. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $T$ и $a$. Конечно эту систему можно сразу решить, исключив из нее ускорение и найдя модуль силы натяжения. Но в этом случае придется иметь дело с более сложными преобразованиями. Гораздо проще сначала исключить из системы силу натяжения и найти ускорение, а уже затем найти и натяжение нити. Итак, начнем с того, что сложим уравнения системы
$F_1-T+T’-F_2=m_1a+m_2a$,
$F_1-F_2=(m_1+m_2)a$,
$a=\frac{F_1-F_2}{m_1+m_2}$,
$a=\frac{3-0,5}{0,2+0,1}=\frac{2,5}{0,3}=\frac{25}{3}$ м/с2.
Из уравнения (2) находим модуль силы натяжения (можно было и из первого уравнения, без разницы)
$T=T’=F_2+m_2a$,
$T=T’=0,5+0,1 \cdot \frac{25}{3}\approx 1,33$ Н.
Теперь повторяем алгоритм и рассматриваем вторую ситуацию: внешние силы «поменяли местами».
1. Систему отсчета свяжем с поверхностью Земли, такая СО является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Несмотря на то, что направление действия сил и тела, к которым они приложены поменялись, модуль ускорения от этого не изменится. Покажем это в процессе решения.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$\vec{F}_1+\vec{T}_1+m_2 \vec{g}+\vec{N}_2=m_2\vec{a}$,
$\vec{F}_2+\vec{T}’_1+m_1 \vec{g}+\vec{N}_1=m_1\vec{a}$.
В проекциях на координатную ось $x$
$F_1-T_1=m_2a$, (3)
$T’_1-F_2=m_1a$. (4)
Записывать второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось бессмысленно, т.к. в задаче отсутствует трение и модули сил реакции не пригодятся.
4. Сила натяжения нити будет одинаковой по модулю во всех ее точках, т.е. $T’_1=T_1$.
5. Кинематические уравнения при решении задачи не требуются.
6. Выполняем те же преобразования, что и в прошлый раз
$F_1-T_1+T’_1-F_2=m_2a+m_1a$,
$F_1-F_2=(m_2+m_1)a$,
$a=\frac{F_1-F_2}{m_1+m_2}\Rightarrow a=\frac{25}{3}$ м/с2.
Из уравнения (3) находим модуль силы натяжения
$T_1=F_1-m_2a$,
$T_1=3-0,1 \cdot \frac{25}{3}\approx 2,17$ Н.
Ответ: $T \approx 1,33$ Н; $T_1 \approx 2,17$ Н.