Задача. Через блок, укрепленный на краю гладкого горизонтального стола, перекинута веревка, соединяющая два груза массами $m$ и $M$, как показано на рисунке. Стол движется вверх с ускорением $a$. Найти ускорения грузов. Трением и массой блока пренебречь.
Решение. В задаче не понятно о каком именно ускорении идет речь: об ускорении относительно стола или об ускорении относительно поверхности Земли. Поэтому будем искать оба ускорения. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
Направление ускорения 3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}_1$,
$M\vec{g}+\vec{N}+\vec{T}’=M\vec{a}_2$,
где $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ — ускорения грузов относительно Земли соответственно. Направление этих ускорений нам пока не ясно, поэтому проекции этих ускорений на координатные оси находить не будем.
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$T’=Ma_{2x}$. (1)
В проекциях на вертикальную ось $y$
$N-Mg=Ma_{2y}$, (2)
$T-mg=ma_{1y}$. (3)
4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$. Других сил, модули которых выражались бы известными формулами нет.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми относительно поверхности стола, т.е. тела будут относительно поверхности стола движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a’=a»$. Кроме того, согласно закону сложения ускорений, ускорение тела относительно неподвижной системы отсчёта (СО связанной с Землей) равно геометрической сумме ускорения тела относительно подвижной системы отсчёта (у нас это $\vec{a}\,’$ и $\vec{a}\, »$ грузов $m_1$ и $m_2$ относительно стола) и ускорения подвижной системы (СО связанной со столом) относительно неподвижной:
для тела массой $m$ получим $\vec{a}_1=\vec{a}+\vec{a}\, »$;
для тела массой $M$ получим $\vec{a}_2=\vec{a}\,’+\vec{a}$.
В проекциях на координатные оси получим
$a_{1y}=a-a»$,
$a_{2x}=a’$,
$a_{2y}=a$.
Заметим, что вертикальная составляющая ускорения тела массой $M$ равна по модулю ускорению с которым движется стол, поэтому второй закон Ньютона для этого тела в проекциях на эту ось больше нам не интересен.
6. Перепишем уравнения (1) и (3) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T=Ma’$,
$T-mg=m(a-a»)=m(a-a’)$.
Нас не интересует модуль силы натяжения $T$, поэтому избавляемся от него
$Ma’-mg=ma-ma’$,
$Ma’+ma’=ma+mg$,
$(M+m)a’=m(a+g)$,
$a’=\frac{m(a+g)}{M+m}$.
Мы нашли ускорения грузов относительно поверхности стола. Найдем теперь ускорения грузов относительно Земли. Начнем с ускорения $\vec{a}_1$
$a_{1y}=a-\frac{m(a+g)}{M+m}=\frac{Ma+ma-ma-mg}{M+m}=\frac{Ma-mg}{M+m}$.
Это выражение очень интересно для анализа:
- если $Ma>mg$, то $a_{1y}>0$ и тогда тело массой $m$ движется вверх с ускорением относительно поверхности Земли;
- если $Ma=mg$, то $a_{1y}=0$ и тело массой $m$ покоится относительно Земли, движется с ускорением $a’=a$ вниз относительно поверхности стола;
- и, наконец, если $mg>Ma$, то $a_{1y}<0$, т.е. тело будет двигаться с ускорением вниз относительно поверхности Земли. Так как в этом случае $a_{1y}=-a_1$, то
$a_1=\frac{mg-Ma}{M+m}$.
Кстати, этот ответ один единственный указан в сборнике, откуда была взята задача, как правильный (если не считать второго ответа, который мы получили выше — ускорение относительно поверхности стола).
Теперь находим модуль ускорения второго тела относительно поверхности Земли. Модуль любого вектора можно найти через его проекции на координатные оси
$a_2=\sqrt{a_{2x}^2+a_{2y}^2}$,
$a_2=\sqrt{\left(\frac{m(a+g)}{M+m} \right)^2+a^2}$.