Задачи по динамике. Задача Д284

ЗадачаЧерез блок, укрепленный на краю гладкого горизонтального стола, перекинута веревка, соединяющая два груза массами $m$ и $M$, как показано на рисунке. Стол движется вверх с ускорением $a$. Найти ускорения грузов. Трением и массой блока пренебречь.

Решение. В задаче не понятно о каком именно ускорении идет речь: об ускорении относительно стола или об ускорении относительно поверхности Земли. Поэтому будем искать оба ускорения. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.

1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.


Направление ускорения 3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела

$m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}_1$,

$M\vec{g}+\vec{N}+\vec{T}’=M\vec{a}_2$,

где $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ — ускорения грузов относительно Земли соответственно. Направление этих ускорений нам пока не ясно, поэтому проекции этих ускорений на координатные оси находить не будем.

В проекциях на горизонтальную ось $x$ 

$T’=Ma_{2x}$.                                                          (1)

В проекциях на вертикальную ось $y$

$N-Mg=Ma_{2y}$,                                                                              (2)

$T-mg=ma_{1y}$.                                                                (3)

4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$. Других сил, модули которых выражались бы известными формулами нет.

5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми относительно поверхности стола, т.е. тела будут относительно поверхности стола движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a’=a»$. Кроме того, согласно закону сложения ускорений, ускорение тела относительно неподвижной системы отсчёта (СО связанной с Землей) равно геометрической сумме ускорения тела относительно подвижной системы отсчёта (у нас это $\vec{a}\,’$ и $\vec{a}\, »$ грузов $m_1$ и $m_2$ относительно стола) и ускорения подвижной системы (СО связанной со столом) относительно неподвижной:

для тела массой $m$ получим $\vec{a}_1=\vec{a}+\vec{a}\, »$;

для тела массой $M$ получим $\vec{a}_2=\vec{a}\,’+\vec{a}$.

В проекциях на координатные оси получим

$a_{1y}=a-a»$,

$a_{2x}=a’$,

$a_{2y}=a$.

Заметим, что вертикальная составляющая ускорения тела массой $M$ равна по модулю ускорению с которым движется стол, поэтому второй закон Ньютона для этого тела в проекциях на эту ось больше нам не интересен.


6. Перепишем уравнения (1) и (3) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5

$T=Ma’$,

$T-mg=m(a-a»)=m(a-a’)$.

Нас не интересует модуль силы натяжения $T$, поэтому избавляемся от него

$Ma’-mg=ma-ma’$,

$Ma’+ma’=ma+mg$,

$(M+m)a’=m(a+g)$,

$a’=\frac{m(a+g)}{M+m}$.

Мы нашли ускорения грузов относительно поверхности стола. Найдем теперь ускорения грузов относительно Земли. Начнем с ускорения $\vec{a}_1$

$a_{1y}=a-\frac{m(a+g)}{M+m}=\frac{Ma+ma-ma-mg}{M+m}=\frac{Ma-mg}{M+m}$.

Это выражение очень интересно для анализа:

  • если $Ma>mg$, то $a_{1y}>0$ и тогда тело массой $m$ движется вверх с ускорением относительно поверхности Земли;
  • если $Ma=mg$, то $a_{1y}=0$ и тело массой $m$ покоится относительно Земли, движется с ускорением $a’=a$ вниз относительно поверхности стола;
  • и, наконец, если $mg>Ma$, то $a_{1y}<0$, т.е. тело будет двигаться с ускорением вниз относительно поверхности Земли. Так как в этом случае $a_{1y}=-a_1$, то

$a_1=\frac{mg-Ma}{M+m}$.

Кстати, этот ответ один единственный указан в сборнике, откуда была взята задача, как правильный (если не считать второго ответа, который мы получили выше — ускорение относительно поверхности стола).

Теперь находим модуль ускорения второго тела относительно поверхности Земли. Модуль любого вектора можно найти через его проекции на координатные оси

$a_2=\sqrt{a_{2x}^2+a_{2y}^2}$,

$a_2=\sqrt{\left(\frac{m(a+g)}{M+m} \right)^2+a^2}$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Физика
Репетитор по физике Потапенко Павел Сергеевич
Iconic One Theme | Powered by Wordpress