Задача. Грузы массами $m_1=3$ кг и $m_2=3$ кг связаны нитью, перекинутой через блок, укреплённый на вершине гладкой наклонной плоскости (см. рис.). Плоскость образует с горизонтом угол 30°. Второй груз связан нитью с третьим грузом массой $m_3=4$ кг, тоже находящимся на наклонной плоскости. Чему равны силы натяжения нитей, связывающих грузы?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Нам не известен характер движения системы тел, т.е. не известно направление движения, поэтому на рисунке направления ускорений показывать не будем. Отметим лишь, что тела, находящиеся на наклонной плоскости будут двигаться с одинаковым по модулю и направлению ускорением.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$m_1\vec{g}+\vec{T}=m_1 \vec{a}_1$,
$m_2\vec{g}+\vec{N}_2+\vec{T}’+\vec{T}_1=m_2\vec{a}_2$,
$m_3\vec{g}+\vec{N}_3+\vec{T}’_1=m_3\vec{a}_2$.
Так как мы не знаем направление движения тел, то проекции ускорений на координатные оси находить не будем. В проекциях на ось $y$ для тела, подвешенного к нити
$T-m_1g =m_1a_{1y}$. (1)
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$T’-m_2g\, sin\, \alpha -T_1=m_2a_{2x}$, (2)
$T’_1-m_3g\, sin\, \alpha=m_3a_{2x}$. (3)
В проекциях на ось $y$ для тел, находящихся на наклонной плоскости, записывать второй закон Ньютона бессмысленно, т.к. силы трения нет и модуль силы реакции нам не пригодится.
4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. Будем считать нити невесомыми, т.е. массы нитей пренебрежимо малы, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$ и $T’_1=T_1$.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, если тела будут двигаться, то их скорости будут одинаковыми, т.е. тела будут двигаться с одинаковыми по модулю ускорениями $a_1=a_2=a$. При этом, если, например, груз $m_1$ движется с ускорением $a_1$ вниз, то $a_{1y}<0$, а для тел поднимающихся по наклонной плоскости вверх в таком случае $a_{2x}>0$. Тогда, между проекциями ускорений выполняется равенство $a_{1y}=-a_{2x}$. Аналогичный результат получается и для второго случая: когда тело $m_1$ движется с ускорением $a_1$ вверх.
6. Перепишем уравнения (1), (2) и (3), с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T-m_1g =-m_1a_{2x}$,
$T-m_2g\, sin\, \alpha -T_1=m_2a_{2x}$,
$T_1-m_3g\, sin\, \alpha=m_3a_{2x}$.
Найдем проекцию ускорения. Для этого избавимся от модулей сил натяжения. Решаем систему методом сложения. Домножаем первое уравнение на минус единицу и складываем все три уравнения
$-T+m_1g+T-m_2g\, sin\, \alpha -T_1+T_1-m_3g\, sin\, \alpha=m_1a_{2x}+m_2a_{2x}+m_3a_{2x}$,
$m_1g-m_2g\, sin\, \alpha-m_3g\, sin\, \alpha=m_1a_{2x}+m_2a_{2x}+m_3a_{2x}$,
$g(m_1-m_2\, sin\, \alpha-m_3\, sin\, \alpha)=(m_1+m_2+m_3)a_{2x}$,
$g(m_1-(m_2+m_3) sin\, \alpha)=(m_1+m_2+m_3)a_{2x}$,
$a_{2x}=\frac{g(m_1-(m_2+m_3) sin\, \alpha)}{m_1+m_2+m_3}$,
$a_{2x}=\frac{10 \cdot (3-(3+4) \cdot 0,5)}{3+3+4}=-\frac{5}{7}$ м/с2.
Проекция ускорения отрицательна, значит тела $m_2$ и $m_3$ соскальзывают вниз. Находим силы натяжений нити
$T=m_1g -m_1a_{2x}=m_1(g -a_{2x})$,
$T=3 \cdot \left( 10 -\left( -\frac{5}{7}\right)\right)\approx 32,14$ Н,
$T_1=m_3g\, sin\, \alpha+m_3a_{2x}=m_3(g\, sin\, \alpha+a_{2x})$,
$T_1=4 \cdot \left( 10 \cdot \frac{1}{2}-\frac{5}{7}\right)\approx 17,14$ Н.
Ответ: $\approx 32,14$ Н, $\approx 17,14$ Н.