Задача. Два груза массами $m=120$ г и $2m$ связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через легкий блок, укрепленный на вершине клина массой $3m$ с углами при основании $\alpha =30^{\circ}$ (см. рис.). Трения между поверхностями клина и грузами нет, а трение между клином и столом столь велико, что клин остается в покое. Определите вес клина при движении грузов.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Тело большей массы будет соскальзывать вниз, поэтому направление ускорение определено однозначно. Особо на рисунке отметим вес грузов, т.е. силы, с которыми грузы давят НА поверхность клина (точки приложения этих сил будут на наклонной плоскости). Кроме того, считая клин с блоком одним целым, мы должны учесть, что нить действует на блок. Итого на клин с блоком будут действовать силы: тяжести, реакции со стороны поверхности на которой находится клин, вес грузов и натяжение нити.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела, учитывая, что клин неподвижен
$m\vec{g}+\vec{N}_1+\vec{T}=m\vec{a}_1$,
$2m\vec{g}+\vec{N}_2+\vec{T}’=m\vec{a}_2$,
$\vec{N}+\vec{P}_1+\vec{P}_2+3m\vec{g}+\vec{T}_1+\vec{T}’_1=0$.
Второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось $x$ для грузов (для клина не пишем, в горизонтальном направлении нас все что касается клина не интересует)
$T-mg\, sin\, \alpha =ma_1$, (1)
$2mg\, sin\, \alpha-T’ =2ma_2$, (2)
А они не будут входить в в эти уравнения. Запишем все три уравнения в проекциях на ось $y$
$N_1-mg\, cos\, \alpha =0$, (3)
$N_2-2mg\, cos\, \alpha =0$. (4)
$N-P_1\, cos\, \alpha -P_2\, cos\, \alpha-3mg-T_1\, sin\, \alpha -T’_1\, sin\, \alpha=0$.
4. Так как массой блока можно пренебречь, то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. Нить невесома, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T=T’=T_1=T’_1$. Нас интересует также вот какой момент. Согласно третьему закону Ньютона $\vec{N}_1=-\vec{P}_1$, $N_1=P_1=mg\, cos\, \alpha$. Последнее равенство следует из уравнения (3). Также согласно третьему закону Ньютона $\vec{N}_2=-\vec{P}_2$, $N_2=P_2=2mg\, cos\, \alpha$. Последнее равенство следует из уравнения (4). Точно также для клина $\vec{N}=-\vec{P}$, $N=P$.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, если тела будут двигаться, то их скорости будут одинаковыми, т.е. тела будут двигаться с одинаковыми по модулю ускорениями $a_1=a_2=a$.
6. Перепишем динамическое уравнение клина, с учетом сказанного в пункте 4
$N-mg\, cos\, \alpha \cdot cos\, \alpha -2mg\, cos\, \alpha \cdot cos\, \alpha-3mg-2T\, sin\, \alpha =0$,
$N-mg\, cos^2 \alpha -2mg\, cos^2 \alpha -3mg-2T\, sin\, \alpha=0$,
$N-3mg\, cos^2 \alpha -3mg-2T\, sin\, \alpha =0$,
$N-3mg(cos^2 \alpha +1)-2T\, sin\, \alpha =0$,
$N=3mg(cos^2 \alpha +1)+2T\, sin\, \alpha$.
Осталось найти модуль силы натяжения нити. Перепишем уравнения (1) и (2) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5 и найдем модуль силы натяжения
$2mg\, sin\, \alpha-T =2ma$,
$T-mg\, sin\, \alpha =ma$.
Последнее уравнение домножаем на минус 2 и складываем с первым
$-2T+2mg\, sin\, \alpha =-2ma$,
$2mg\, sin\, \alpha-T-2T+2mg\, sin\, \alpha =2ma-2ma$,
$4mg\, sin\, \alpha-3T=0$,
$T=\frac{4}{3} \cdot mg\, sin\, \alpha$.
Окончательно находим вес клина
$P=N=3mg(cos^2 \alpha +1)+2 \cdot \frac{4}{3} \cdot mg\, sin\, \alpha \cdot sin\, \alpha$,
$P=3mg(cos^2 \alpha +1)+\frac{8}{3} mg\, sin^2 \alpha$,
$P=\left( 3(cos^2 \alpha +1)+\frac{8}{3}\, sin^2 \alpha\right) mg$,
$P=\left( 3 \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 +1\right)+\frac{8}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right) \cdot 0,12 \cdot 10=7,1$ Н.
Ответ: 7,1 Н.